Конспект лекций Глазова / тема 12. Сист случ вел-н

Тема 12. Системы случайных величин.

1. Координаты случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x=a, x=b, y=c, y=d (b>a, d>c). Найти двумерные плотность вероятность и функцию распределения системы X,Y; определить, зависимы ли X и Y; найти частные плотности вероятности; не производя вычислений, определить коэффициент корреляции величин X, Y.

2. Положение случайной точки равновероятно в прямоугольнике 0<x<2, 0<y<3. Для двумерной системы координат этой точки найти моменты , и коэффициент корреляции.

3. Известно, что моменты системы X, Y случайных величин равны:

.

Зависимы ли X и Y?

4. Известно, что моменты системы X, Y случайных величин равны:

Чему равен коэффициент корреляции?

5. В некоторой системе двух одинаково распределенных случайных величин математические ожидания равны 2, дисперсии равны 9, коэффициент корреляции равен -0.5. Найти второй смешанный начальный момент.

6. Что можно сказать о зависимости случайных величин X, Y, если известно, что в этой системе коэффициент корреляции равен нулю, и

?

7. Найти , если известно, что и величины X, Y независимы.

8. Двумерная плотность вероятности системы (X, Y) имеет вид

f(x, y)=.

Найти коэффициент нормировки A, частные плотности вероятности, частные функции распределения, функцию распределения системы.

9. Плотность вероятности системы (X, Y) равна

f(x, y)=A(x²y²+4x²+y²+4)^-1, -

Не вычисляя интегралов, найти частные плотности вероятности с точностью до коэффициентов нормировки и определить их моды.

10. Определить плотность вероятности системы (X, Y) двух положительных случайных величин по заданной функции распределения

F(x, y)=1-e^-ax-e^-bx+e^-ax-by, x>0, y>0.

11. Функция распределения системы (X, Y) системы случайных величин равна

F(x, y)=1-e^-2x-e^-y+e^-2x-y, x>0, y>0.

Определить вероятность попадания случайной точки с координатами X, Y в прямоугольную область (1<x<2, 1<y<2).

12. Функция распределения системы (X, Y) системы случайных величин равна

F(x, y)=1-e^-2x-e^-y+e^-2x-y, x>0, y>0.

Определить вероятность попадания случайной точки с координатами X, Y в ту часть области (1<x<2, 1<y<2), которая не занята областью (1.5<x<1.8, 1.5<y<1.8).

13. Плотность вероятности системы (X, Y) равна

f(x, y)=e^-x-y, x>0, y>0.

Найти вероятность попадания случайной точки с координатами X, Y в прямоугольную область (0<x<1, 0<y<1).

14. Случайная точка распределена равномерно в круге радиуса R. Какова вероятность, что она попадет в круг радиуса r с тем же центром, если r<R?

15. Плотность вероятности системы случайных величин равна

f(x, y)=C(R-, x²+y²<R².

Найти постоянную С, вероятность попадания случайной точки с координатами X, Y в круг радиуса r<R с тем же центром.

16. Плотность вероятности системы (X, Y) равна

f(x, y)=.

Найти математические ожидания и второй смешанный начальный момент.

17. Функция распределения системы (X, Y) равна

F(x, y)=sin(x) sin(y), 0<x<.

Найти плотность вероятности системы, математические ожидания и второй смешанный начальный момент.

18. Плотность вероятности системы (X, Y) равна

f(x, y)=A exp(-x²-y²).

Определить постоянную А, найти дисперсии случайных величин X, Y, вычислить вероятность попадания случайной точки с координатами X, Y в круг радиуса R c центром в начале координат.

19. Случайная точка с координатами X, Y распределена равномерно в круге x²+y²<1. Определить частные и условные плотности вероятности, математические ожидания и момент связи.

20. Случайная точка с координатами X, Y распределена равномерно в квадрате с вершинами в точках (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0). Найти частные и условные плотности вероятности, математические ожидания и момент связи.

21. Случайная величина X распределена нормально с m=0, =1/, а случайная величина Y - равномерно на интервале (0, 1), X и Y независимы. Записать двумерную плотность вероятностей и двумерную функцию распределения этих величин.

22. Объясните, почему двумерное распределение

f(x, y)=

иногда называют круговым нормальным распределением. Подберите такой радиус круга с центром в начале координат, чтобы равномерное распределение точки (x, y) в нем имело те же , что и указанное распределение.

23. Задана двумерная плотность вероятности

f(x, y)=.

Найти коэффициент корреляции величин X, Y.

24. Независимые случайные величины X, Y распределены по нормальным законам с параметрами

m_x=2, m_y=-3, .

Найти вероятность события (X<m_x , Y<m_y).

25. Независимые случайные величины X, Y распределены по нормальным законам с параметрами

m_x=2, m_y=-3, .

Найти вероятность события (X<3).

26. Система случайных величин распределена по нормальному закону с параметрами

m_x=m_y=0, 1, r_xy=0.

Найти вероятность попадания точки (x, y) в круг x²+y²=1.

27. Плотность вероятности системы X, Y имеет вид

f(x, y)=.

Найти вероятность попадания точки (x, y) в квадрат с вершинами в точках (0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0). Указание: воспользоваться круговой симметрией f(x, y).

28. Плотность вероятности случайных величин X, Y имеет вид

f(x, y)=Axy exp[-(x²+y²)], x>0, y>0.

Найти A, f_x(x), f_y(y), f(x/y), f(y/x) и определить, зависимы ли X и Y.