Конспект лекций Глазова / тема 6. Ф-ла полн вер и Байеса

Тема 6. Формула полной вероятности и формула Байеса.

1. В первой партии 12 изделий, во второй - 10, в каждой по одному бракованному. Изделие, взятое наугад из первой партии, перекладывается во вторую, затем из второй партии наугад берется изделие. Какова вероятность, что оно бракованное?

2. В первой урне m₁ белых и n₁ черных шаров, во второй - m₂ белых и n₂ черных. Из каждой урны наугад извлекается по одному шару, затем из этих двух - один. Какова вероятность, что этот шар белый?

3. В тире пять ружей, вероятности попадания из которых при одном выстреле - 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Какова вероятность, взяв наугад ружье, попасть при одном выстреле?

4. В одной из трех партий деталей 2/3 деталей бракованные, в двух других - все доброкачественные. Из наугад выбранной партии наугад берется деталь. Какова вероятность, что она бракованная?

5. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0.25, 0.25, 0.5, соответственно. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий 0.6, 0.7, 0.8. Какова вероятность, что произвольная лампа проработает заданное число часов?

6. Для изготовления продукции используется материал, характеризуемый параметром, значение которого может находится в одном из шести интервалов. Вероятности попадания в интервалы равны 0.09, 0.16, 0.25, 0.25, 0.16, 0.09, при этом вероятности получения первосортной продукции равны 0.2, 0.3, 0.4, 0.4, 0.3, 0.2, соответственно. Какова вероятность, что продукция будет первосортная?

7. Вероятности того, что в партии из 1000 лампочек 0, 1, 2, или 3 лампочки неисправны, одинаковы. Какова вероятность, что наугад взятые из этой партии 100 лампочек все исправны?

8. В сосуде 5 шаров, любое число белых из них имеет одинаковую вероятность. В этот сосуд опускается белый шар, шары перемешиваются и наугад извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

9. В ящике находятся 6 теннисных шаров, из которых 4 новых. Для первой игры наугад берутся 2 мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры снова наугад берутся 2 мяча. Какова вероятность, что эти два мяча новые?

10. В казино жетоны красного, желтого и синего цвета имеют разное достоинство, но одинаковы на ощупь. В правом кармане игрока 5 жетонов красного цвета и по 10 желтого и синего, в левом - по пять красного и желтого. Игрок наугад перекладывает два жетона из правого кармана в левый, затем наугад извлекает жетон из левого кармана. Какова вероятность, что этот жетон красный?

11. В детском телеграфе сообщения состоят из сигналов «точка» и «тире», в среднем 0.2 «точек» и 0.1 «тире» при передаче искажаются, то есть меняются на обратный сигнал. Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Какова вероятность неискаженной передачи сигнала?

12. Имеется шесть одинаковых с виду урн, в пяти урнах по два белых и по два черных шара, в одной - три белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлечен шар Какова вероятность, что он белый?

13. Имеется k₁ урн, в каждой из которых m₁ белых и n₁ черных шаров, и k₂ урн, содержащих по m₂ белых и по n₂ черных шаров. Из наугад выбранной урны извлекается один шар. Какова вероятность, что он белый?

14. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную продукцию - с вероятностью 0.05. Какова вероятность, что наугад взятое изделие пройдет упрощенный контроль?

15. В первой партии 8 изделий, во второй - 6, в каждой по два бракованных. Изделие, взятое наугад из первой партии, переложено во вторую, затем из последней наугад взято изделие, которое оказалось бракованным. Какова вероятность, что перекладывалось бракованное изделие?

16. В первой урне m₁ белых и n₁ черных шаров, во второй - m₂ белых и n₂ черных. Из каждой урны наугад извлекается по одному шару, затем из этих двух - один, который оказался белым. Какова вероятность, что и второй шар тоже белый?

17. В тире пять ружей, вероятности попадания из которых при одном выстреле - 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Взято наугад ружье и при одном выстреле из него произошло попадание. Какова вероятность, что это ружье №1?

18. В одной из трех партий деталей 2/3 деталей бракованные, в двух других - все доброкачественные. Из наугад выбранной партии наугад взята деталь, оказавшаяся доброкачественной. Какова вероятность, что она из первой партии?

19. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0.25, 0.25, 0.5, соответственно. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий 0.6, 0.7, 0.8. Наугад взятая лампа проработала заданное число часов. Какова вероятность, что она из первой партии?

20. Для изготовления продукции используется материал, характеризуемый параметром, значение которого может находится в одном из шести интервалов. Вероятности попадания в интервалы равны 0.09, 0.16, 0.25, 0.25, 0.16, 0.09, при этом вероятности получения первосортной продукции равны 0.2, 0.3, 0.4, 0.4, 0.3, 0.2, соответственно. Наугад взятый экземпляр продукции оказался первосортным. Какова вероятность, что параметр находился в третьем интервале?

21. В казино жетоны красного, желтого и синего цвета имеют разное достоинство, но одинаковы на ощупь. В правом кармане игрока 5 жетонов красного цвета и по 10 желтого и синего, в левом - по пять красного и желтого. Игрок наугад перекладывает два жетона из правого кармана в левый, затем наугад извлекает жетон из левого кармана. Он оказался красным. Какова вероятность, что были переложены два красных жетона?

22. Имеется шесть одинаковых с виду урн, в пяти урнах по два белых и по два черных шара, в одной - три белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлечен шар, он оказался белым. Какова вероятность, что он из урны, в которой было три белых шара?

23. Имеется k₁ урн, в каждой из которых m₁ белых и n₁ черных шаров, и k₂ урн, содержащих по m₂ белых и по n₂ черных шаров. Из наугад выбранной урны извлекается один шар, он оказался белым. Какова вероятность, что он из первой группы урн?

24. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную продукцию - с вероятностью 0.05. Какова вероятность, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, первосортное?