Конспект лекций Глазова / тема 5. Вер суммы соб

Тема 5. Вероятность суммы событий.

1. При каком соотношении между событиями А и В их сумма совпадает с их произведением?

2. Доказать, что при любых событиях А, В

Р(А+В) Р(А)+Р(В).

3. В урне a белых и b черных шаров. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что они разного цвета?

4. В урне a белых и b черных шаров. Шары вынимаются наугад один за другим. Какова вероятность, что вторым по порядку будет вынут белый шар?

5. В урне a белых, b черных и c красных шаров. Наугад вынимаются три шара. Какова вероятность, что по крайней мере два из них будут одного цвета?

6. Бросаются две монеты. Какова вероятность, что выпадет по крайней мере один герб?

7. Два стрелка с вероятностями попадания в мишень 0.7 и 0.8 стреляют в нее по одному разу. Какова вероятность, что мишень будет поражена?

8. При одном цикле обзора радиолокационной станции космический объект обнаруживается с вероятностью р, обнаружения в разных циклах независимы друг от друга. Какова вероятность, что при n циклах объект будет обнаружен?

9. Работают m РЛС с вероятностью обнаружения космического объекта в одном цикле одной станцией p (независимо от других станций и других циклов). Какова вероятность, что за n циклов объект будет обнаружен?

10. Работают m РЛС с вероятностью обнаружения космического объекта в одном цикле одной станцией p (независимо от других станций и других циклов). Какова вероятность, что за n циклов объект будет обнаружен каждой станцией?

11. Работают m РЛС с вероятностью обнаружения космического объекта в одном цикле одной станцией p (независимо от других станций и других циклов). Какова вероятность, что объект будет обнаружен в каждом из n циклов?

12. Работают m РЛС с вероятностью обнаружения космического объекта одной станцией за время T, равной p. Какова вероятность, что из k космических объектов не все будут обнаружены за время T?

13. Деталь последовательно обрабатывается четырьмя рабочими, допускающими брак на своей операции, независимо от других рабочих, с вероятностями 0.1, 0.1, 0.15, 0.15. При передаче на следующую операцию качество детали не проверяется. Какова вероятность, что изготовленная деталь будет бракованной?

14. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец, вероятности попадания в которые, соответственно 0.2, 0.15, 0.1. Какова вероятность, что он не попадет в мишень?

15. В квадрат, разделенный n горизонтальными и n вертикальными полосами на n² одинаковых малых квадратов, бросается шарик. Вероятность попадания шарика в малый квадрат на пересечении i-ой горизонтальной и j-ой вертикальной полос равна p_ij. Какова вероятность попадания шарика на m-ую горизонтальную полосу?

16. Две одинаковые монеты радиуса r расположены внутри круга радиуса R и не перекрываются. Внутрь большого круга наугад бросается точка. Какова вероятность, что она упадет на одну из монет?

17. Какова вероятность, что карта, наугад извлеченная из колоды в 52 листа, будет фигурой (дамой, валетом, королем) или иметь пиковую масть?

18. В первой урне 5 белых, 8 черных и 10 красных шаров, во второй - 3 белых, 4 черных и 6 красных шаров. Из каждой урны наугад вынимается по одному шару, какова вероятность, что они разного цвета?

19. В первой урне 5 белых, 8 черных и 10 красных шаров, во второй - 3 белых, 4 черных и 6 красных шаров. Из каждой урны наугад вынимается по одному шару, какова вероятность, что они одного цвета?

20. Вероятность, что данный спортсмен улучшит свой прошлогодний результат с одной попытки, равна p. Какова вероятность, что он его улучшит, если ему даны две попытки?

21. В урне содержится n шаров с номерами от 1 до n. Из нее последовательно извлекаются два шара, причем первый возвращается, если его номер не равен единице. Какова вероятность, что при втором извлечении появится шар номер 2?

22. Двое поочередно бросают монету, выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Какова вероятность выигрыша для каждого из игроков?

23. В урне имеется n белых и m черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар и перемешивая шары в урне. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь не достанет белый шар. Какова вероятность, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру?

24. В кошельке имеются 6 монет по 1 руб., 5 монет по 50 коп., 4 монеты по 10 коп. Предполагается, что на ощупь они не различимы. Наугад берутся 5 монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не более 2 руб. 40 коп.?

25. Показать, что вероятность суммы трех событий в общем случае равна

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(С)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).

Указание: временно обозначить E=B+C и воспользоваться формулой для суммы двух событий.

26. Показать, что если С не совместно и с А, и с В, то P(A+B+C)=P(A+B)+P(С) (о совместности А и В ничего не известно).

27. В урне a белых и b черных шаров. Наугад вынимается шар, отмечается его цвет, он возвращается в урну, шары перемешиваются и наугад вынимается другой шар. Какова вероятность, что вынутые шары разного цвета?

28. В урне a белых, b черных и c красных шаров. Наугад вынимаются три шара. Какова вероятность, что по крайней мере два из них одного цвета?

Указание: перейти к противоположному событию.

29. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Какова вероятность, что двигатель начнет работать именно при втором включении зажигания?

30. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Какова вероятность, что для запуска двигателя придется включать зажигание не более двух раз?

31. Производится обстрел цели с k позиций; выстрел с i-ой позиции независимо от других поражает цель с вероятностью p_i (i=1, 2, ..., k). Какова вероятность, что хотя бы один выстрел поразит цель?

32. Производится обстрел цели с k позиций; выстрел с i-ой позиции независимо от других поражает цель с вероятностью p_i (i=1, 2, ..., k). Какова вероятность, что не все выстрелы попадут в цель?

33. По некоторой цели производится n выстрелов, каждый выстрел независимо от других поражает цель с вероятностью p. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы с вероятностью не менее P (P>p) цель была поражена хотя бы один раз?

34. Истребитель, вооруженный двумя ракетами, посылается на перехват воздушной цели. Вероятность вывода истребителя в положение, из которого возможна атака цели, равна p₁. Если истребитель выведен в такое положение, он выпускает по цели обе ракеты, каждая из которых независимо от другой выводится в окрестность цели с вероятностью p₂. Если это случилось, ракета поражает цель с вероятностью p₃. Какова вероятность, что цель будет поражена?

35. Производится стрельба одним осколочным снарядом по беспилотному самолету-разведчику. Уязвимыми агрегатами самолета являются двигатель и отсек с аппаратурой. Поражение любого из этих агрегатов приводит к выводу самолета из строя. При определенном положении точки разрыва снаряда в двигатель попадает m₁ осколков, в аппаратурный отсек - m₂ осколков. Каждый осколок, попавший в двигатель, поражает его независимо от других с вероятностью p₁, а попавший в аппаратурный отсек - с вероятностью p₂. Какова вероятность вывода самолета из строя при указанном положении точки разрыва?

36. При стрельбе ракетами по некоторой цели вероятность попадания одной ракеты в цель равна p, независимо от других ракет. Каждая попавшая ракета поражает цель с вероятностью p₁. Стрельба ведется до поражения цели или до израсходования всего боезапаса. На базе имеется боезапас n ракет(n>2). Какова вероятность, что не весь этот боезапас будет израсходован?