Конспект лекций Глазова / 2.10.-2.12. Сумма, полная вер, Байес

2.10. Вероятность суммы событий.

Начнем с суммы двух событий. Справедливо равенство

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

(2.10.1)

Это соотношение назовем формулой для вероятности суммы двух событий. Докажем ее для схемы случаев. Пусть n - общее число случаев, k, s, r - числа случаев, благоприятствующих событиям А, В, АВ, соответственно. Событию А+В благоприятствует k+s-r случаев, т. к. одни и те же r случаев входят и в k и в s. Тогда

Р(А+В)=,

ч. т. д.

Упражнение 2.10.1. Докажите то же самое для схемы геометрических вероятностей.

Хотя мы доказали (2.10.1) только в двух частных случаях, эта формула справедлива и в общем случае. Выведем формулу для вероятности Р(А+В+С) суммы трех событий. Временно обозначим Е=В+С, тогда, с учетом (2.10.1),

Р(А+В+С)=Р(А+Е)=Р(А)+Р(Е)-Р(АЕ)=Р(А)+Р(В+С)-Р(А(В+С))= =Р(А)+Р(В+С)-Р(АВ+АС)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(ВС)-Р(АВ)-Р(АС)+ +Р(ААВС),

и учитывая, что АА=А, получаем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС).

(2.10.2)

Продолжая действовать таким образом, можно вывести формулу для n событий:

Р(сумма событий)=+(сумма вероятностей одиночных событий)-(сумма вероятностей произведений пар событий)+(сумма вероятностей произведений троек событий)-...+(-1)n-1 (вероятность произведения всех событий),

(2.10.3)

однако, ясно, что громоздкость и неудобство применения формулы нарастают с увеличением n. Упрощения в формулах (2.10.1) - (2.10.3) происходят при несовместности или/и независимости событий.

Следствие 2.10.1. Если события-слагаемые несовместны, то

Р(А+В+С+...+Е)=Р(А)+Р(В)+Р(С)+...+Р(Е),

(2.10.4)

то есть вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2.10.2. Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу, равна единице.

Действительно, вследствие несовместности, справедлива формула (2.10.4), левая часть которой, вследствие полноты, по определению равна единице.

Следствие 2.10.3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Действительно, противоположные события и несовместны и составляют полную группу, поэтому, в силу предыдущего следствия,

) =1.

(2.10.5)

Это соотношение практически важно: если дана вероятность события, то вероятность противоположного ему события является дополнительной до единицы.

Следствие 2.10.4 : простая формула для вероятности суммы независимых событий.

Пусть события А₁, А₂, ...,А_n не отвечают условию полной несовместности (т. е. по крайней мере некоторые из них совместны), тогда упрощение (2.10.4) не справедливо. Однако, если эти события независимы, то справедлива простая формула:

.

(2.10.6)

Доказательство. Заметим сначала, что если {A_k} независимы, то и {} независимы. В силу принципа Де Моргана событие противоположно событию . Тогда

),

ч. т. д.

Пример 2.10.1. В цепь между точками a, b последовательно включены три одинаковые лампочки. Лампочки перегорают независимо, вероятность перегорания одной лампочки за время Т р=0.2. Какова вероятность, что за время Т после включения тока произойдет разрыв цепи между точками a, b?

Решение. Обозначим: А_k - «перегорание k-ой лампочки», С - «разрыв цепи». Тогда, используя формулу (2.10.6), найдем:

Р(С)=Р(А₁+А₂+А₃)=1-(1-р)³=1-0.8³=0.488.

2.11. Формула полной вероятности.

Рассмотрим схему полной вероятности (смысл названия выяснится ниже), обобщающую схему случаев. Пусть имеется полная группа несовместных событий {H_k}, k=1, 2, ... , n, называемых при названных условиях гипотезами, и некоторое событие А, связанное с гипотезами условными вероятностями {P(A/H_k)}, k=1, 2, ... , n. Заданы эти вероятности и априорные вероятности гипотез {P(H_k)}, k=1, 2, ... , n, нужно найти безусловную вероятность Р(А).

Прежде чем решить эту задачу, заметим, что:

1) в силу полноты и несовместности гипотез в каждом случайном эксперименте совершается ровно одна гипотеза, не больше и не меньше; случайным же здесь является то, какая именно гипотеза совершится;

2) событие А может совершиться или не совершиться, но если А совершается, то только вместе с одной из гипотез;

3) в силу следствия 2.10.2. сумма вероятностей гипотез равна единице.

Справедлива следующая формула полной вероятности:

.

(2.11.1)

Доказательство. Событие А осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляется одно из комбинированных событий Н₁А, Н₂А, ... , Н_nА . Поэтому можно записать тождество

А=Н1А+Н2А+ ... +НnА.

(2.11.2)

Из несовместности гипотез вытекает несовместность событий Н_кА и Н_sА при кs. Учитывая следствие 2.10.1 и формулу вероятности произведения событий, находим:

,

ч. т. д.

Заметим, что тождество (2.11.2) можно получить автоматически, записав тождество (сумма слева - достоверное событие в силу полноты группы гипотез), и почленно перемножив сумму на А.

Назовем вероятность Р(Н_кА)=Р(Н_к)Р(А/Н_к) вкладом k-ой гипотезы. Тогда смысл формулы полной вероятности (2.11.1) прост: Р(А) равна сумме вкладов гипотез; это оправдывает название формулы.

Упражнение 2.11.1. Назовите условия, при которых схема полной вероятности переходит в схему случаев, а формула полной вероятности - в формулу непосредственного расчета вероятности.

Замечание: прежде, чем применить формулу полной вероятности для решения какой-то задачи, необходимо проверить, выполняются ли оба требования к выбранной группе событий, делающие их гипотезами: несовместность и полнота группы; невыполнение хотя бы одного из этих требований может сделать решение неверным.

Пример 2.11.1. В зоне N работают три радиолокационные станции (РЛС), независимо обнаруживающие самолеты противника, определяющие их координаты и передающие их на командный пункт. Вероятности обнаружения самолета этими РЛС равны, соответственно, 0.9, 0.9, 0.85; вероятность поражения самолета зависит от того, сколько РЛС его обнаружили, и равна 0.7 - если самолет обнаружен одной РЛС; 0.8 - если двумя РЛС; 0.9 - если тремя РЛС. Какова вероятность, что самолет будет обнаружен при одном пролете в зоне N?

Решение. Обозначим: А_к - «обнаружение самолета k-ой РЛС», k=1, 2, 3. Заметим, что было бы неверным взять эти события в качестве предполагаемых гипотез, т. к. они не составляют полную группу и не являются несовместными. В качестве предполагаемых гипотез возьмем события, состоящие в обнаружении ровно одного самолета:

; ; ;

ровно двух самолетов:

; ; ;

ровно трех самолетов:

=;

ни одного самолета:

.

Очевидно, что эти события несовместны и составляют полную группу.

По формуле вероятности произведения независимых событий находим:

В качестве проверки убеждаемся, что сумма этих вероятностей равна единице.

По условиям задачи имеем:

P(A/H₁)=P(A/H₂)=P(A/H₃)=0.7; P(A/H₄)=P(A/H₅)=P(A/H₆)=0.8;

P(A/H₇)=0.9; P(A/H₈)=0.

Теперь по формуле полной вероятности:

2.12. Формула Байеса.

Пусть в схеме полной вероятности опыт проведен и событие А выполнилось. Какова вероятность, что при этом совершилась данная Н_j , другими словами, какова условная вероятность Р(Н_j/A)? Искомая вероятность Р(Н_j/A) называется апостериорной (послеопытной), в отличие от априорной Р(Н_j). Вследствие статистической зависимости между Н_j и А апостериорная и априорная вероятности в общем случае различны. С другой стороны, вероятность Р(Н_j/A) не следует путать с априорной условной вероятностью Р(А/H_j), имеющей другой смысл. Заметим, что сама постановка задачи об отыскании Р(Н_j/A) оправдывает название «гипотеза».

Обратимся к решению поставленной задачи. По формуле вероятности произведения событий имеем:

P(AH_j)=P(H_j)P(A/H_j)=P(A)P(H_j/A), j=1, 2, 3, ... , n,

откуда

(2.12.1а)

Знаменатель в правой части можно выразить по формуле полной вероятности, тогда

(2.12.1б)

Формула (2.12.1) называется формулой Байеса и на самом деле дает ответ на n поставленных вопросов: каковы P(H₁/A), P(H₂/A), ... , P(H_n/A)? Смысл формулы прост: в числителе правой части - вклад j-ой гипотезы, в знаменателе - сумма вкладов, т. е., в соответствии с нашим интуитивным представлением, апостериорные вероятности гипотез пропорциональны их вкладам в полную вероятность. Просуммировав правую и левую части (2.12.1б) по j, получим

,

(2.12.2)

что понятно, т. к. и при условии, что событие А выполнилось, гипотезы составляют полную группу несовместных событий. При решении задач это тождество можно использовать для проверки.

Пример 2.12.1. Вернемся к условиям примера 2.11.1. Пусть самолет противника, пролетавший в зоне N, уничтожен в результате действий РЛС. Какова вероятность, что он был обнаружен одной РЛС?

Решение. Поскольку безразлично, какой именно РЛС обнаружен самолет, нужно определить апостериорную вероятность

Р(В₁)=Р[(H₁+H₂+H₃)/A]=P(H₁/A)+P(H₂/A)+P(H₃/A),

каждая из вероятностей в правой части определяется по формуле Байеса: