Конспект лекций Глазова / 4.2. Моменты системы СВ

4.2. Моменты системы СВ.

Многомерная плотность вероятности и многомерная функция распределения системы СВ являются ее исчерпывающими характеристиками. Во многих практических ситуациях или невозможно, или нет необходимости характеризовать СВ исчерпывающим образом. К многомерной СВ это относится еще в большей степени, чем к одномерной: в редких случаях удается найти многомерную плотность вероятности теоретическим путем, а восстановление ее по опытным данным представляет собой довольно громоздкую задачу. Поэтому, как и в одномерном случае, иногда ограничиваются приближенным описанием многомерного распределения с помощью нескольких числовых характеристик, наиболее употребительными из которых являются моменты.

Как и в одномерном случае, наиболее часто применяют начальные и центральные моменты системы. Сначала рассмотрим двумерную систему.

Определения. 1. Начальным моментом порядка k+s непрерывной двумерной СВ называется величина с двумя индексами

(4.2.1)

2. Центральным моментом порядка k+s непрерывной двумерной СВ называется величина с двумя индексами

,

(4.2.2)

где m_x , m_y - математические ожидания СВ X и Y (частные математические ожидания). Как и в одномерном случае, преимущество центральных моментов состоит в том, что они инвариантны относительно сдвига плотности вероятности в целом. Центральный момент можно понимать как начальный момент с теми же индексами центрированной СВ (X⁰, Y⁰), где X⁰=X-m_x, Y⁰=Y-m_y. Положив в (4.2.1), (4.2.2) оба индекса равными нулю, и используя условие нормировки

,

получаем

,

(4.2.3)

т. е. эти моменты не несут информации о свойствах конкретной двумерной СВ, а представляют еще одну форму условия нормировки.

Положив в (4.2.1) и (4.2.2) второй индекс равным нулю, получаем

,

и аналогично, положив первый индекс равным нулю, получаем

;

т. о., положив в двумерном моменте индекс, соответствующий одной частной СВ, равным нулю, получаем частный момент другой СВ.

Определение. Если ни один индекс момента не равен нулю, момент называется смешанным.

Как мы увидим в дальнейшем, смешанные моменты несут информацию о взаимозависимости случайных величин в системе. Наиболее важны смешанные моменты низшего порядка:

.

Между ними имеется связь: перемножая скобки и учитывая условие нормировки, получаем

.

(4.2.4)

Это важное соотношение необходимо помнить наизусть. Чаще всего используют центральный момент . Вследствие его важности и частого использования иногда применяют другие названия - момент связи, ковариация, и другие обозначения - K_x,y , Cov(X,Y), смысл которых выяснится в дальнейшем. Дифференцируя равенство (4.1.9), служащее определением двумерной характеристической функции, k раз по v и s раз по q, и полагая v=q=0, получим

,

это соотношение дает альтернативный метод вычисления начальных моментов.

Определения моментов обобщаются на систему любого конечного порядка. Для системы (X₁, X₂,..., X_n) n-го порядка начальный момент порядка (k₁+k₂+...+k_n) равен

,

а центральный момент порядка (k₁+k₂+...+k_n) равен

.