Конспект лекций Глазова / тема 13. Мом ф-ций случ аргум

Тема 13. Моменты функций случайных аргументов.

1. Для дискретной случайной величины X дан ряд распределения

xi	-3	-2	-1	0	1	2	3
pi	0.12	0.15	0.2	0.23	0.13	0.12	0.05

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=2^X.

2. Для дискретной случайной величины X дан ряд распределения

xi	-		0
pi	0.3	0.2	0.15	0.1	0.25

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=sinX.

3. Для дискретной случайной величины X дан ряд распределения

xi	0.5	1.0	1.5	2.0
pi	0.4	0.3	0.2	0.1

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=exp(X).

4. Для независимых дискретных случайных величин X, Y даны ряды распределения

xi	1	2	3		yi	0	2	4
pi	0.5	0.25	0.25		pi	0.4	0.3	0.3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=X-Y.

5. Для независимых дискретных случайных величин X, Y даны ряды распределения

xi	1	2	3		yi	0	2	4
pi	0.5	0.25	0.25		pi	0.4	0.3	0.3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=XY.

6. Значения и вероятности двумерной дискретной случайной величины X, Y приведены в таблице

yj \ xi	1	2	3
1	0.1	0.2	0
2	0.1	0	0.2
3	0.2	0.2	0

Найти математическое ожидание случайной величины Z=XY.

7. Значения и вероятности двумерной дискретной случайной величины X, Y приведены в таблице

yj \ xi	1	2	3
1	0.1	0.2	0
2	0.1	0	0.2
3	0.2	0.2	0

Найти математическое ожидание случайной величины Z=X/Y.

8. Дискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение

P(k)=p^kq^n-k , k=0, 1, 2,...n, q=1-p , n-целое, положительное; 0<p<1.

Найти математическое ожидание случайной величины Y=exp(2X).

Указание: использовать формулу бинома Ньютона:

(a+b)ⁿ =.

9. Число космических частиц, попадающих на площадь S детектора за время T, случайно и имеет распределение Пуассона

P(k)=

Энергия каждой частицы случайна с математическим ожиданием E. Найти среднюю энергию частиц на единицу площади детектора в единицу времени.

10. Игра состоит в том, что игрок бросает игральную кость (кубик) и в случае выпадения цифры 6 получает 10 руб., а в противном случае платит 2 руб. Найти математическое ожидание и дисперсию выигрыша за 10 бросаний кости.

11. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, 2). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=exp(-2X).

12. Непрерывная случайная величина X имеет плотность вероятности

f(x)=2x, 0<x<1.

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=X².

13. Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с плотностью вероятности

f(x)=

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=exp(-X).

14. Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с плотностью вероятности

f(x)=

При каком условии существует и чему равно математическое ожидание случайной величины Y=exp(X)?

15. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности

f(x)=0.5 cos(x), .

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=sinX.

16. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности

f(x)=0.5 cos(x), .

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=.

17. Случайная величина распределена равномерно в интервале

(1, 2). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=1/X.

18. Индикатор кругового обзора РЛС - круг радиуса r, дальность до цели индицируется как расстояние отметки от центра индикатора. Вместо цели в виде яркой точки может появиться помеха. Считая случайную точку равномерно распределенной по названному кругу, найти математическое ожидание кажущейся дальности до ложной цели. Указание: при интегрировании применить полярную систему координат.

19. Считая дискретную случайную величину, имеющую биномиальное распределение, суммой n независимых величин, принимающих значения 0, 1 с вероятностями q, p, вывести формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения.

20. Случайная точка распределена равномерно внутри круга радиуса R с центром в начале координат. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=XY.

21. Случайная точка распределена равномерно внутри квадрата с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=XY.

22. Случайная точка распределена равномерно внутри квадрата с вершинами (0, -1), (0, 1), (-1, 0), (1, 0). Найти математическое ожидание случайной величины Z=XY.

23. Случайные величины X, Y связаны соотношением Y=-3X+2, заданы m_x=-2, D_x=4. Найти m_x, D_x.

24. Случайные величины X, Y связаны соотношением Y=-3X+2, заданы m_x=-2, D_x=4. Найти коэффициент корреляции между X и Y, а также момент связи между ними.

25. Случайные величины X, Y, Z связаны соотношениями Y=2X-1, Z=X-3Y+2. Даны m_x, D_x , найти m_z, D_z.

26. Для системы случайных величин X, Y, Z заданы математические ожидания m_x, m_y, m_z, дисперсии D_x, D_y, D_z и моменты связи K_xy, K_xz, K_yz. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины U=aX-bY+cZ-d.

27. Плотности вероятности независимых случайных величин X, Y имеют вид

f_x(x)=f_y(y)=, 0<y<2.

Найти M[X+Y], M[X-Y], M[XY], M[X²+Y²], M[X²-Y²] .

28. Плотности вероятности независимых случайных величин X, Y имеют вид

f_x(x)=f_y(y)=, 0<y<2.

Найти D[X+Y], D[X-Y] .

29. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, b). Найти M[3X+2], M[2X²+3X-2] .

30. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, b). Найти D[3X-2], D[X²-1].

31. Случайная величина имеет нормальное распределение с плотностью

f(x)=.

Найти математическое ожидание случайной величины Y=2X³-4X²+2.

32. Записать формулу и построить график зависимости D[X+Y] от r_xy при условии, что .

33. Записать формулу и построить график зависимости D[X-Y] от r_xy при условии, что .

34. В системе случайных величин X, Y, Z r_xy=r_xz=r_yz=r. Выразить D[X+Y+Z] явно через и r.

35. В системе случайных величин X, Y, Z r_xy=r_xz=r_yz=r. Выразить D[X+2Y+3Z] явно через и r.

36. В системе случайных величин X, Y . При каком условии D[X+Y]<D[X-Y]?

37. В системе случайных величин X, Y r_xy=-0.8. Найти D[2X-3Y+1].

38. Проекции вектора R=(X, Y) независимые, нормально распределенные случайные величины с параметрами m_x=m_y=0, . Найти математическое ожидание модуля вектора.

39. Проекции вектора R=(X, Y) независимые, нормально распределенные случайные величины с параметрами m_x=m_y=0, . Найти дисперсию модуля вектора.

40. Ножки циркуля, каждая длиной 10 см, раздвинуты на угол . Этот угол - случайная величина, имеющая равномерное распределение на интервале [0, 180⁰]. Найти математическое ожидание расстояния между остриями ножек.

41. Ножки циркуля, каждая длиной 10 см, раздвинуты на угол . Этот угол - случайная величина, имеющая равномерное распределение на интервале [0, 180⁰]. Найти средний квадрат расстояния между остриями ножек.

42. Случайная величина X - нормальная, m_x=0, . Найти математическое ожидание случайной величины Y=exp(-X²/2).