Конспект лекций Глазова / 10.4. Испыт гипот пуасс

10.4. Испытание простых гипотез с распределениями Пуассона.

Гипотезы. Лемма Неймана-Пирсона, доказанная в п. 9.3 для случая непрерывных распределений, на самом деле справедлива и в случае дискретных распределений в гипотезах. Рассмотрим испытание двух простых гипотез

Н₀:

Н₁:

т. е. в обеих гипотезах генеральная СВ имеет распределение Пуассона, но с разными (известными) параметрами .

Выборка представляет собой n-мерный вектор k=(k₁, k₂,..., k_n) с целочисленными неотрицательными компонентами.

Выборочные распределения в гипотезах, вследствие независимости выборочных значений, получаются перемножением их распределений:

где

.

Отношение правдоподобия:

.

Неравенство для критической области в n-мерном пространстве W целочисленных векторов k:

J(k) ,

где - порог. Как видно из выражения для J(k), все выборочные данные содержатся в единственной величине G, следовательно, эта величина (и любая однозначная функция от нее) - достаточная статистика, и можно построить пороговое решающее правило. Выразив, с помощью логарифмирования, G через J:

,

получаем неравенство для критической области в одномерном пространстве величины G:

.

Для понимания результатов рассмотрения задачи более удобно перейти от G к статистике m*=G/n, имеющей ясный смысл: это выборочное среднее

.

Тогда неравенство для критической области в одномерном пространстве величины m* :

,

где новый порог

.

Решающее правило имеет вид:

если , то решение «Н₁»,

если ,то решение «Н₀».

Распределение решающей статистики в гипотезах. Для вычисления вероятностей ошибок, порога и мощности критерия необходимо знать распределение решающей статистики, в данном случае - величины m*, в гипотезах. Поскольку выборочные значения имеют дискретное распределение, то и m* - дискретная СВ. Однако, более удобно использовать непрерывную аппроксимацию распределения величины m*. Сначала найдем первые два момента этого распределения. Распределение выборочного значения - пуассоновское с параметром ; значит, математическое ожидание и дисперсия выборочного значения (см. п. 3.7) m_k=D_k= . Отсюда находим математическое ожидание и дисперсию величины m*:

В п. 7.9 показано, что при большом параметре >>1 распределение Пуассона приближенно аппроксимируется нормальным распределением с теми же параметрами m, D; значит, при совместном выполнении условий

,

величина m* имеет приближенные распределения в гипотезах:

.

Вероятность ложной тревоги и порог. Используя найденные аппроксимации, найдем выражение через порог , затем обратим это выражение. Имеем:

.

Сделав в интеграле замену переменной

,

и учтя выражение для функции «интеграл вероятности»

,

а также то, что , найдем:

,

и учитывая, что

,

получим

.

Для обращения этого равенства относительно используем функцию , обратную функции . Тогда

,

и окончательно,

.

Мощность критерия:

,

и действуя так же, как при вычислении , получаем

.

Из этого выражения видно, что при заданных , n (т. е. при заданном пороге ) мощность критерия монотонно возрастает как с увеличением «расстояния» между гипотезами, так и объема выборки n.