Конспект лекций Глазова / 5.1. Понятие ф-ции случ арг
.doc5. Функции случайных аргументов.
5.1. Понятие функции случайных аргументов.
Как известно, число функциональных связей в мире детерминированных величин очень велико. Таково же положение в мире случайных величин. Как поясняется ниже, необходимость рассмотрения функций случайных аргументов диктуется не только связями явлений окружающего мира, но и внутренними потребностями теории вероятностей и математической статистики.
Уточним, что понимается под функциями случайных аргументов. Пусть имеются случайные величины Х и Y такие, что если первая принимает значение х, то вторая принимает значение
у=
(х),
где
(.)
- обычная функция. Тогда говорят, что Y
есть (одномерная) функция случайного
аргумента Х,
и пишут
Y=
(X).
Пусть, например, на вход безынерционного двухполупериодного квадратичного детектора подается случайное напряжение (случайный процесс) Х(t); тогда напряжение на выходе
Y(t)=aX2(t),
где а - детерминированный постоянный коэффициент, t - время (это параметр в том смысле, что в каждый момент времени имеется квадратичная связь между Х и Y). Ясно, что хотя обе величины случайны, при заданном значении Х(t) величина Y(t) не случайна, а однозначно определяется с помощью заданной функции.
Часто встречается более общая ситуация: n-мерная СВ Х и одномерная СВ Y таковы, что когда первая принимает значение
(х1, x2, ..., xn), вторая принимает значение
y=
(x1,
x2,
..., xn),
где
(.) - обычная функция n
переменных. Тогда говорят, что Y
есть (одномерная)
функция n-мерного
случайного аргумента,
и пишут
Y=
(X1,
X2,
..., Xn),
или в векторном виде
Y=
(X),
где X - n-мерный вектор. Наконец, еще более общая ситуация: n-мерная СВ Х и m-мерная СВ Y таковы, что когда первая принимает значение (x1, x2, ..., xn), вторая принимает значение (y1, y2, ..., ym), определяемое равенствами
y1=
(x1,
x2,
..., xn),
y2=
(x1,
x2,
..., xn),
................................
................................
ym=
(x1,
x2,
..., xn),
где
- обычные функции n
переменных. Тогда говорят, что Y
есть
m-мерная
функция n
случайных
аргументов,
и пишут
Y1=
(X1,
X2,
..., Xn),
Y2=
(X1,
X2,
..., Xn),
................................
................................
Ym=
(X1,
X2,
..., Xn),
или в векторном виде
Y=
(X),
где Х
- n-мерный
вектор, Y
- m-мерный
вектор,
(.) - функция n
переменных. Пусть, например, имеется
безынерционный многополюсник с n
входами и m
выходами,
и на входы подаются случайные напряжения
(случайные процессы) {Xs(t)},
s=1,
2, ..., n;
тогда
на выходах будут случайные процессы
{Yk(t)},
k=1,
2, ..., m,
связанные
с процессами на входах как
Y(t)=
[X(t)].
На первый взгляд может показаться, что детерминированные (функциональные) зависимости между случайными величинами имеют небольшое значение, поскольку они представляют собой всего лишь крайнюю степень статистической зависимости. На самом деле, роль функциональных зависимостей между СВ в теории вероятностей и ее приложениях очень велика, и тому есть по крайней мере три причины.
1. Несмотря на то, что в природе и рукотворном мире почти все величины в той или иной мере случайны, в макроскопической физике и других науках, а также в технике, главную роль играют модели, в которых, из соображений простоты и удобства, связи между случайными величинами (а тем более - между детерминированными величинами) рассматриваются как детерминированные.
2. Как будет показано в дальнейшем, некоторые статистические характеристики случайных величин (такие, как моменты, характеристическая функция и т. д.) удобно рассматривать как средние от функций случайных аргументов, т. е. применение аппарата функций случайных аргументов является внутренней потребностью теории вероятностей и ее применений.
3. Как мы увидим в дальнейшем, при обработке данных последовательных измерений, методологией которых занимается математическая статистика, мы вынуждены находить и применять такие комбинации результатов этих измерений, которые сами являются функциями случайных аргументов, и находить статистические характеристики этих комбинаций. Поэтому применение аппарата функций случайных аргументов является внутренней потребностью и математической статистики.
Интуитивно ясно, что статистические характеристики случайных аргументов содержат определенную информацию о статистических свойствах функций этих аргументов. Важнейшая задача, связанная с функциями случайных аргументов, состоит в нахождении тех или иных характеристик этих функций как случайных величин по тем или иным характеристикам аргументов как случайных величин. Эта задача может решаться точно или приближенно на каждом из следующих четырех уровней:
1. Нахождение числовых характеристик функций случайных аргументов, в частности, моментов, по числовым характеристикам этих аргументов, в частности, по их моментам.
2. Нахождение числовых характеристик функций случайных аргументов, в частности, моментов, по распределениям этих аргументов.
3. Приближенное восстановление распределений функций случайных аргументов по моментам этих аргументов.
4. Нахождение распределений функций случайных аргументов по распределениям этих аргументов.
В последующих разделах мы рассмотрим простейшие задачи на этих уровнях.