13. Интервальные оценки.

13.1. Постановка задачи.

Как отмечено в п. 11.1, существуют два подхода к оцениванию параметров распределений. При точечном оценивании мы стремимся найти такое число, зависящее от выборочных значений, которое дает представление о неизвестном значении параметра; сделать это абсолютно точно по случайной выборке невозможно, мы стремимся сделать это некоторым наилучшим образом, хотя возможно различное понимание того, что значит термин «наилучший». Качество точечной оценки оценивается смещением и мерой ее разброса при фиксированном точном значении параметра, например, с. к. о. оценки. В отличие от этого, при интервальном оценивании мы стремимся найти такой интервал (а₁, а₂) в области возможных значений параметра, который накроет истинное значение параметра. Поскольку и на этот раз сделать это абсолютно надежно по случайной выборке невозможно, мы сужаем задачу до следующей: построить такой интервал (а₁, а₂), который с некоторой вероятностью , близкой к единице, накроет истинное значение параметра. Эта задача еще более неопределенна, чем задача точечного оценивания. Действительно, даже если задана и существует способ вычисления вероятности накрытия по выборочным данным (что в общем случае не так), ясно, что такой интервал неоднозначен, хотя бы потому, что задание интервала означает задание двух величин, например, центра и ширины, или левого края и ширины и т. п. Поэтому на практике еще более сужают задачу до следующей: пусть при данном классе распределений построена точечная оценка параметра а; составим такой интервал , что вероятность накрытия им истинного значения параметра а, или, другими словами, вероятность попадания истинного значения а в этот интервал равна заданному заранее , т. е.

(13.1.1)

Если задать достаточно большое , например, 0.9, 0.95 или 0.99, и определить необходимое для этого , то можно сказать, что интервал построен и накрывает а «практически всегда». Так построенный интервал и есть интервальная оценка параметра а; называется доверительным интервалом, - доверительной вероятностью, границы - нижней и верхней доверительными границами.

В такой постановке задача интервального оценивания является продолжением задачи точечного оценивания, но это стало результатом упрощения подхода. Возможны более общие постановки задачи, в том числе такие, когда интервальное оценивание непосредственно не связано с точечным оцениванием, например, можно искать нижнюю и верхнюю границы а₁, а₂ как такие функции выборочных данных, что

где - заданные вероятности. Однако, при любой постановке задачи интервальное оценивание - более сложная задача, чем точечное оценивание.

Заметим, что выбор доверительной вероятности должен производится заранее, до получения выборки, так же, как это делалось при испытании гипотез. Этот выбор не имеет однозначного решения: чем больше назначенное , тем шире интервал , т.е. происходит своеобразная «игра» надежности и точности оценки: при увеличении увеличивается надежность, но уменьшается точность оценки, при уменьшении - наоборот. Поэтому желательно выбирать из соображений предметной области приложения математической статистики.

Пусть задано и точечная оценка найдена; для определения доверительного интервала нужно найти ; для этого нужно, в соответствии с (13.1.1), зная распределение оценки , найти как функцию , а затем обратную функцию (). При этом мы сталкиваемся с трудностью: поскольку есть функция выборочных данных, ее распределение зависит от точных значений неизвестных параметров. Эту трудность можно обойти двумя способами. Первый способ, который ведет к точному построению доверительного интервала, заключается в том, что выражается как функция от такой комбинации выборочных значений, распределение которой уже не зависит от точных значений неизвестных параметров, а зависит только от вида распределения генеральной СВ и объема выборки n. Второй способ, который ведет к приближенному построению доверительного интервала, заключается в том, что при отыскании распределения оценки истинные значения неизвестных параметров в необходимых случаях заменяются их точечными оценками, например, по методу моментов. Хотя приближенное построение в действительности дает интервал, соответствующий вероятности, отличной от , при достаточно больших n различие невелико; кроме того, никогда не удается обосновать требуемое с большой точностью.