Конспект лекций Глазова / тема 4. Вер произв соб

Тема 4. Вероятность произведения событий.

1. При каком соотношении между событиями A и B их сумма совпадает с их произведением?

2. В урне a белых и b черных шаров. Из урны наугад вынимаются два шара. Какова вероятность, что они оба белые?

3. В урне a белых и b черных шаров. Из урны наугад вынимается шар, отмечается его цвет, шар возвращается в урну и шары перемешиваются, затем процедура повторяется. Какова вероятность, что оба вынутые шары - белые.

4. В коробке 9 новых теннисных мячей. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При взятии мячей для игры игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?

5. 32 буквы русского алфавита записаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «рубин»?

6. В колоде 52 карты. Наугад вынимается 4 карты. Какова вероятность, что они разных мастей?

7. В колоде 52 карты. Наугад вынимается карта, отмечается ее цвет, она возвращается в колоду и колода перемешивается. Эта процедура выполняется 4 раза. Какова вероятность, что 4 вынутые карты окажутся разного цвета?

8. При включении зажигания двигатель включается с вероятностью p. Какова вероятность, что шофер включит двигатель именно со второй попытки?

9. При появлении воздушной цели истребитель посылается на ее перехват. Вероятность вывода его в нужное положение относительно цели равна p₁; в этом случае он выпускает ракету, вероятность попадания которой в нужную окрестность цели равна p₂; в этом случае вероятность поражения цели равна p₃. Какова вероятность, что появившаяся воздушная цель будет поражена?

10. Два стрелка стреляют в мишень по одному разу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0.8, вторым - 0.9. Какова вероятность:

а) что оба стрелка попадут;

б) что оба не попадут;

в) что попадет хотя бы один стрелок?

11. В компьютере n блоков, вероятность выхода k-го блока из строя за время T равна p_k. Работа блоков статистически независима. Какова вероятность, что за время T:

а) выйдут из строя все блоки;

б) не выйдет из строя ни один блок;

в) выйдет из строя хотя бы один блок?

12. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0.2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Какова вероятность того, что придется производить четвертый опыт?

13. Вероятность изготовления первосортной детали на первом станке равна 0.7, на втором - 0.8. На первом станке изготовлено 3 детали, на втором - 2 детали. Какова вероятность, что все они первосортные?

14. Из колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты. Одну из них смотрят - она оказалась дамой. Затем две вынутые карты перемешивают и одну из них берут наугад. Какова вероятность, что она окажется тузом?

15. При изготовлении некоторого изделия на заводе 4 процента продукции - брак, 75 процентов небракованных изделий относятся к первому сорту. Какова вероятность, что наугад взятое изделие первосортное?

16. В партии из 100 деталей в точности 5 бракованных, но это не известно контролеру. Для выборочного контроля он берет наугад 5 деталей и объявляет всю партию негодной, если обнаружит среди них хотя бы одну бракованную. Какова вероятность, что это случится?

17. Сколько нужно взять чисел из таблицы случайных чисел, чтобы с вероятностью не менее 0.9 быть уверенным, что среди них хотя бы одно число четное?

18. Событие A испытывается в четырех независимых опытах, вероятность того, что при этом оно произойдет хотя бы один раз равна 0.5. Вероятность совершения А в каждом опыте одна и та же. Чему она равна?

19. В мотоциклетных гонках на участке АВ имеется 12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0.1. Вероятность остановки на участке ВС равна 0.3. Какова вероятность, что на участке АС не будет ни одной остановки?

20. Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединенных элементов. Вероятность выхода из строя за время Т первого элемента - 0.3, второго - 0.4, третьего - 0.5. Какова вероятность разрыва цепи за время Т?

21. Стрелок сначала стреляет в первую мишень, вероятность попадания в которую равна 0.7. Если он попал, то стреляет во вторую мишень, вероятность попадания в которую неизвестна. Вероятность поражения обеих мишеней по таким правилам равна 0.5. Какова вероятность попадания во вторую мишень?

22. Деталь может быть изготовлена с применением одной из двух технологий: по первой она проходит три операции, вероятности брака по каждой из них, соответственно, 0.1, 0.2, 0.3, а вероятность, что небракованная деталь будет первосортной, равна 0.9; по второй технологии деталь проходит две операции с вероятностями брака 0.3 и 0.3, и вероятностью, что небракованная деталь будет первосортной, равной 0.8. Какая технология дает больше первосортной продукции?

23. Деталь проходит механическую и термическую обработки. Вероятность брака при первой равна p₁, а вероятность, что этот брак неустраним, равна p₂. При второй эти вероятности равны, соответственно, p₃, p₄. Какова вероятность, что из трех деталей, прошедших обе обработки, хотя бы одна имеет неустранимый брак?

24. Дано, что события А и В несовместны, P(A)0, P(B)0. Зависимы ли данные события?

25. Показать, что если P(A/B)>P(A), то и P(B/A)>P(B).

26. С помощью шести карточек разрезной азбуки составлено слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем извлекаются по одной. Какова вероятность, что в порядке поступления букв образуется слово «ракета»?

27. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает его наугад. Какова вероятность, что ему придется звонить не более чем в три места?

28. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, но помнит, что эта цифра четная. Какова вероятность, что набирая эту цифру наугад, ему придется звонить не более чем в два места?

29. Абонент забыл три последние цифры номера телефона, но помнит, что они разные. Какова вероятность правильно набрать номер с одного раза?

30. Абонент забыл последние три цифры номера телефона и набирает их наугад. Насколько увеличится вероятность правильного набора номера, если он вспомнит, что забытые цифры разные?

31. Абонент забыл три последние цифры номера телефона, но помнит, что они разные, а самая последняя - четная. Какова вероятность набрать правильный номер наугад?

32. Абонент забыл шестизначный номер телефона, но помнит, что цифры, стоящие на четных местах - нечетные, а на нечетных местах - четные. Какова вероятность набрать правильный номер?

33. Известны Р(А) и Р(АВ), найти Р(А).