Конспект лекций Глазова / 4.6.Контр вопр к п 4

4.6. Контрольные вопросы

к п. 4. «Системы случайных величин».

1. Приведите три примера систем случайных величин.

2. Что такое система случайных величин?

3. Что такое многомерная случайная величина?

4. Что представляет собой значение n-мерной случайной величины?

5. Почему в общем случае недостаточно отдельного описания каждой величины системы случайных величин? Когда этого достаточно?

6. Дайте определение двумерной функции распределения.

7. Дайте определение непрерывной двумерной случайной величины.

8. Перечислите свойства двумерной непрерывной функции распределения.

9. Каковы свойства геометрического представления непрерывной двумерной функции распределения?

10. Дайте определение двумерной плотности вероятности.

11. Каков вероятностный смысл двумерной плотности вероятности?

12. Как по известной двумерной плотности вероятности вычислить вероятность попадания двумерной случайной величины в заданную область?

13. Как по известной двумерной плотности вероятности найти двумерную функцию распределения?

14. Перечислите обязательные свойства двумерной плотности вероятности.

15. Запишите условие нормировки двумерного непрерывного распределения: через плотность вероятности; через функцию распределения.

16. Как из двумерной плотности вероятности найти частные плотности вероятности?

17. Как из двумерной функции распределения найти частные функции распределения?

18. Дайте определение двумерной характеристической функции системы непрерывных случайных величин.

19. Как из двумерной характеристической функции найти двумерную плотность вероятности?

20. Дайте общее определение начального момента двумерной системы непрерывных величин.

21. Дайте общее определение центрального момента двумерной системы непрерывных величин.

22. Для чего, кроме начальных моментов системы, необходимы центральные моменты системы?

23. Чему равен начальный момент нулевого порядка двумерной системы?

24. Каким формальным приемом из момента системы получить частный момент одной из величин?

25. Дайте определение смешанным моментам системы случайных величин.

26. Как связаны второй смешанный начальный момент и второй смешанный центральный момент системы?

27. Как из двумерной характеристической функции найти конкретный начальный момент системы?

28. В чем состоит механическая интерпретация одномерного дискретного распределения?

29. В чем состоит механическая интерпретация одномерного непрерывного распределения?

30. В чем состоит механическая интерпретация двумерного непрерывного распределения?

31. Дайте определение зависимости и независимости одной случайной величины двумерной системы от другой.

32. Дайте определение условных плотностей вероятностей двумерной системы.

33. Каков вероятностный смысл условных плотностей двумерной системы?

34. Перечислите обязательные свойства условных плотностей как функций.

35. Дайте определение условной функции распределения.

36. Как из условной плотности вероятности найти условную функцию распределения?

37. Как из условной функции распределения найти условную плотность вероятности?

38. Как выражается двумерная плотность вероятности через частную плотность одной величины и условную плотность другой?

39. В чем состоит взаимность независимости случайных величин?

40. В чем состоит взаимность зависимости случайных величин?

41. Сформулируйте необходимое и достаточное условие независимости случайных величин.

42. Как найти двумерную плотность вероятности системы двух независимых величин, если известны их частные плотности вероятности?

43. Что можно сказать о двумерной функции распределения независимых случайных величин?

44. Что можно сказать о смешанных моментах системы двух независимых случайных величин?

45. Что можно сказать о двумерной характеристической функции системы независимых случайных величин?

46. Как из двумерной плотности вероятности найти условные плотности вероятности?

47. Дайте общее определение условных начальных моментов двумерной системы.

48. Дайте общее определение условных центральных моментов двумерной системы.

49. Что такое регрессия одной случайной величины на другой?

50. Какое свойство зависимости позволяет оценить условная дисперсия?

51. Какие характеристики дают полное описание структуры зависимости двух случайных величин?

52. Почему важен второй смешанный центральный момент?

53. Что такое ковариация как момент?

54. Дайте определение линейной статистической зависимости двух величин.

55. Дайте геометрическую интерпретацию линейной статистической зависимости.

56. Могут ли две случайные величины быть статистически зависимыми, но не коррелированными?

57. Могут ли две случайные величины быть статистически независимыми, но коррелированными?

58. Могут ли две случайные величины быть статистически зависимыми и коррелированными?

59. Могут ли две случайные величины быть статистически независимыми и некоррелированными?

60. Что такое положительная корреляция? Что такое отрицательная корреляция?

61. Дайте качественное определение степени корреляции.

62. Дайте качественное определение полной корреляции.

63. Дайте количественное определение коэффициента корреляции.

64. Перечислите свойства коэффициента корреляции.

65. В каком смысле коэффициент корреляции является мерой и знака и степени корреляции?

66. Дайте определение нормальной системы n случайных величин.

67. Что такое ковариационная матрица; что представляют собой ее элементы?

68. Дайте определения вырожденной и невырожденной нормальной системы.

69. Каким свойством обладает квадратичная форма в выражении n-мерной нормальной плотности?

70. В какой точке n-мерная нормальная плотность принимает максимальное значение и чему оно равно?

71. Запишите выражение характеристической функции n-мерной нормальной системы.

72. Чему равны диагональные элементы ковариационной матрицы?

73. Сколько параметров в n-мерном нормальном распределении?

74. Какое свойство должна иметь ковариационная матрица, чтобы n-мерная нормальная плотность факторизовалась на n частных плотностей?

75. Могут ли нормальные случайные величины быть статистически зависимыми, но некоррелированными?

76. Что означает утверждение, что в нормальной системе корреляция эквивалентна статистической зависимости?

77. Достаточно ли нормальности всех частных плотностей для того, чтобы n-мерная система была нормальной?

78. Сколько параметров в двумерном нормальном распределении?

79. Каковы координаты центра рассеивания двумерной нормальной системы?

80. Какому условию должен удовлетворять один из параметров двумерной нормальной системы, чтобы ее плотность вероятности факторизовалась?

81. Какие свойства имеют обе регрессии двумерной нормальной системы?

82. Каковы условные распределения двумерной нормальной системы?

83. Какую форму имеют лини равных плотностей двумерной нормальной системы?

84. Что такое главные оси рассеивания двумерной нормальной системы?