Конспект лекций Глазова / тема 10. Числ хар дискр вел

Тема 10. Числовые характеристики

дискретных случайных величин.

1. Построить ряд распределения неслучайной величины b как «случайной» и найти все начальные и все центральные моменты этой величины.

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью p, случайная величина - число попаданий в мишень при одном выстреле. Построить ряд распределения для этой случайной величины и найти все начальные и все центральные моменты.

3. Случайная величина - число, выпадающее при одном бросании игрального кубика. Найти математическое ожидание, второй центральный момент, а по ним - дисперсию этого числа.

4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины:

xk	-2	-1	0	1	2
pk	0.1	0.15	0.2	0.3	0.25

Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

5. Найти средние m₁, m_s и дисперсии D₁, D_s выпавшего числа при одном бросании кубика и суммы выпавших чисел при двух бросаниях кубика, построив соответствующие ряды распределений; проверить, что m_s=2m₁, D_s=2D₁.

6. Пусть m₁, D₁ - среднее и дисперсия выпавшего числа при одном бросании кубика, m_d, D_d - среднее и дисперсия разности выпавших чисел при двух бросаниях кубика. Построив соответствующие ряды распределений; проверить, что m_d=m₁-m₁=0, D_d=D₁+D₁=2D₁.

7. Построить ряд распределения отношения выпавших чисел при двукратном бросании кубика и найти среднее и дисперсию этого отношения.

8. Построить ряд распределения произведения выпавших чисел при двукратном бросании кубика и найти среднее и дисперсию этого произведения.

9. Правильная монета бросается 5 раз. Найти среднее и дисперсию числа выпадений герба и на этом примере проверить формулы для среднего и дисперсии биномиального распределения.

10. Производятся независимые испытания трех приборов с вероятностями отказа p₁, p₂, p₃ соответственно. Доказать, что математическое ожидание числа отказавших приборов равно p₁+p₂+p₃.

11. Производятся независимые испытания n одинаковых приборов; вероятность отказа одного прибора равна p. Найти среднее число отказавших приборов.

12. Первый игрок бросает 2 одинаковые монеты и получает от второго столько рублей, сколько выпало гербов; второй бросает 3 одинаковые монеты и получает от первого число рублей, равное двум третям числа выпавших гербов; бросания производятся по очереди. Справедлива ли данная игра (игра называется справедливой, если для каждого игрока средний выигрыш равен среднему проигрышу)?

13. В лотерее c N билетами назначены m₁ выигрышей стоимостью k₁, m₂ выигрышей стоимостью k₂, ..., m_n выигрышей стоимостью k_n. Какую стоимость билета следует установить, чтобы математическое ожидание выигрыша на один билет равнялось половине его стоимости?

14. Правильная монета бросается до тех пор, пока не выпадет герб. Найти математическое ожидание числа бросаний.

15. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого отдельного прибора равна 0.9. Найти математическое ожидание числа испытанных приборов.

16. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0.3. Производится 4 независимых выстрела. Какова относительная среднеквадратичная флуктуация числа попаданий (отношение среднего квадратичного отклонения к среднему значению)?

17. Воспользовавшись формулами для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения, найти, как зависит отношение среднего квадратичного отклонения к среднему (относительная среднеквадратичная флуктуация ) от числа испытаний при заданной вероятности p успеха в одном испытании. При каком p указанное отношение максимально?

18. Мишень состоит из круга и двух колец, вероятности попадания в которые (при попадании в мишень) равны 0.5, 0.3, 0.2. За попадание в круг дается 10 очков, в первое кольцо - 5 очков, во второе кольцо - 2 очка. Найти среднее число очков, получаемых за один выстрел.

19. При передаче цифровых данных вероятности появления любой цифры одинаковы. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа при передаче одной цифры.

20. Число термоэлектронов, вылетающих с катода электронной лампы в заданном интервале времени, подчиняется распределению Пуассона. Чему равно математическое ожидание числа электронов, вылетевших за 1 микросекунду, если вероятность, что за этот интервал не будет ни одного электрона, равна 0.1?

21. При постоянной интенсивности света число фотоэлектронов детектора света за заданный интервал времени имеет распределение Пуассона, параметр которого пропорционален интенсивности света. Эту интенсивность подобрали так, чтобы =10^-6 c^-1. Каково математическое ожидание числа фотоэлектронов в секунду?

22. Случайное число фотонов электромагнитного поля, падающих на единицу площади раскрыва антенны за единицу времени, имеет распределение Пуассона с параметром =10⁸ м^-2с^-1. Каков должен быть диаметр круглого раскрыва, чтобы математическое ожидание числа фотонов, падающих на него за 1 микросекунду равнялось 0.5?

23. Радиоастрономическая станция регистрирует пуассоновский поток вспышек сверхновых. Вероятность отсутствия регистраций за 1 год равна 0.4. Каково математическое ожидание числа регистраций за 10 лет?

24. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за 7.5 сек. испускало в среднем 3.87 -частицы. Каково математическое ожидание числа - частиц за 1 секунду?

25. Опыт производится с помощью серии одинаковых приборов, которые включаются один за другим через 5 секунд, и прекращается сразу же после того, как сработает хотя бы один прибор. Время срабатывания прибора 16 сек., вероятность срабатывания каждого - 0.5. Найти математическое ожидание числа одновременно включенных приборов.

26. Имеется n заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из одной заготовки равна p. Найти математическое ожидание числа заготовок, оставшихся после изготовления первой же годной детали.

27. Найти математическое ожидание суммы цифр двузначных случайных чисел (включая числа 00, 01, ..., 09).

28. Производится 5 последовательных независимых испытаний события А при р=0.5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной разности числа совершений и числа несовершений.

29. Производится 5 последовательных независимых испытаний события А при р=0.5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного произведения числа совершений и числа несовершений.

30. Распределение дискретной случайной величины V имеет вид

P_V(k)=E/n ; k=1, 2, ..., n.

Найти дисперсию этой случайной величины.

31. Вероятность появления события в одном опыте равна р. Доказать, что дисперсия числа появлений события в одном опыте не превосходит 1/4.

32. Найти коэффициент асимметрии распределения, заданного рядом распределения

xk	-2	-1	0	1	2
pk	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

и объяснить результат.

33. Вывести рекуррентное соотношение для центральных моментов биномиального распределения

34. Вывести рекуррентное соотношение для центральных моментов пуассоновского распределения

.