Конспект лекций Глазова / тема 8. Дискр распр

Тема 8. Дискретные распределения.

1. Построить ряд распределения и функцию распределения детерминированной величины 3.5 как «случайной величины» с единственным возможным значением (так называемое вырожденное распределение).

2. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа попаданий в мишень при одном выстреле стрелком, для которого вероятность попадания в мишень равна 0.7 (частный случай распределения Бернулли).

3. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа совершений события А при одном испытании, если вероятность его совершения равна р (распределение Бернулли).

4. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа, выпадающего при одном бросании игрального кубика.

5. Построить ряд распределения и многоугольник распределения суммы выпавших чисел при двукратном бросании игрального кубика.

6. Построить ряд распределения и многоугольник распределения разности выпавших чисел при двукратном бросании игрального кубика.

7. Построить ряд распределения и функцию распределения отношения выпавших чисел при двукратном бросании игрального кубика.

8. Построить ряд распределения и функцию распределения произведения выпавших чисел при двукратном бросании игрального кубика.

9. Построить ряд распределения и функцию распределения для случайного числа выпавших гербов при четырехкратном бросании правильной монеты.

10. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого отдельного прибора равна 0.9. Построить ряд распределения числа испытанных приборов.

11. Правильная монета бросается до тех пор, пока не выпадет герб. Построить ряд распределения числа бросаний (частный случай геометрического распределения).

12. Два баскетболиста поочередно бросают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Вероятность попадания при одном бросании для первого равна 0.4, для второго - 0.5. Построить ряд распределения случайного числа бросков.

13. Мишень состоит из круга и двух колец, вероятности попадания в которые (при попадании в мишень) равны 0.5, 0.3, 0.2. За попадание в круг дается 10 очков, в первое кольцо - 5 очков, во второе кольцо - 2 очка. Построить ряд распределения случайного числа набранных очков в результате трех попаданий.

14. n изделий испытываются на надежность. Вероятность пройти испытание для одного изделия равна p. Записать три первых члена и общий член ряда распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания. Как называется данное распределение?

15. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0.4. Написать формулу для распределения числа попаданий при четырех выстрелах. Как называется данное распределение.

16. При передаче цифровых данных вероятности появления любой цифры одинаковы. Написать формулу для распределения вероятностей одно-цифровой случайной величины. Как называется это распределение?

17. Вероятность совершения события при одном испытании равна р. Независимые испытания этого события производятся до тех пор, пока не произойдет первое совершение. Написать формулу для распределения числа испытаний и построить первые 3 члена ряда распределения (геометрическое распределение).

18. В партии из N деталей m бракованных и N-m годных (m<N). Для выборочного контроля из партии берут r деталей (r<N). Написать формулу для случайного числа k бракованных деталей в выбранной партии и построить первые 3 члена ряда распределения (гипергеометрическое распределение).

19. Число космических частиц, регистрируемых неким счетчиком за час, имеет распределение Пуассона с параметром =6 час^-1. Написать формулу для распределения вероятностей этого числа. Какова вероятность, что за час не будет зарегистрировано ни одной частицы?

20. Число отказов некоторого радиоэлектронного комплекса за фиксированный интервал времени подчиняется распределению Пуассона, причем вероятность безотказной работы в течение часа равна 0.99. Какова вероятность, что в течение 100 часов произойдет ровно 1 отказ?

21. Мишень состоит из круга и двух колец, вероятности попадания в которые (при попадании в мишень) равны 0.5, 0.3, 0.2. За попадание в круг дается 10 очков, в первое кольцо - 5 очков, во второе кольцо - 2 очка.

22. Число термоэлектронов, вылетающих с катода электронной лампы в заданном интервале времени, подчиняется распределению Пуассона. Чему равен параметр этого распределения, если вероятность того, что за 1 микросекунду не вылетит ни одного электрона, равна 0.9?

22. При постоянной интенсивности света число фотоэлектронов детектора света за заданный интервал времени имеет распределение Пуассона, параметр которого пропорционален интенсивности света. Эту интенсивность подобрали так, чтобы =10^-6 c^-1. Какова вероятность, что за 1 микросекунду детектор испустит ровно 1 фотоэлектрон?

23. Случайное число фотонов электромагнитного поля, падающих на единицу площади раскрыва антенны за единицу времени, имеет распределение Пуассона с параметром =10⁸ м^-2с^-1. Каков должен быть диаметр круглого раскрыва, чтобы вероятность того, что за 1 микросекунду на него не упадет ни один фотон, равнялась 0.5?

24. Радиоастрономическая станция регистрирует пуассоновский поток вспышек сверхновых. Какова вероятность, что за год будет зарегистрирована ровно одна вспышка, если вероятность отсутствия регистраций за тот же период равна 0.4?

25. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за 7.5 сек. испускало в среднем 3.87 -частицы. В предположении, что поток -частиц - пуассоновский, найти вероятность того, что за 1 сек. это вещество испустит хотя бы одну -частицу.

26. Опыт производится с помощью серии одинаковых приборов, которые включаются один за другим через 5 секунд, и прекращается сразу же после того, как сработает хотя бы один прибор. Время срабатывания прибора 16 сек., вероятность срабатывания каждого - 0.5. Записать ряд распределения случайного числа одновременно включенных приборов.

27. Имеется n заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из одной заготовки равна p. Записать ряд распределения случайного числа заготовок, оставшихся после изготовления первой же годной детали.

28. Имеется n заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из одной заготовки равна p. Записать ряд распределения для случайного числа заготовок, использованных для получения одной годной детали.

29. За время T на фотокатод детектора света падает случайное число k фотонов, имеющее распределение Пуассона

P_T(k)=^kexp(-)/k! , k=0,1,2,...,

где -параметр, пропорциональный интенсивности света. Каждый фотон выбивает из фотокатода электрон с вероятностью , называемой квантовой эффективностью детектора. Показать, что распределение числа электронов, выбитых из фотокатода за время Т, есть распределение Пуассона с параметром _e=. Указание: использовать формулу полной вероятности, а для записи условных вероятностей - биномиальную формулу).

30. Построить ряд распределения и многоугольник распределения суммы цифр двузначных случайных чисел (включая числа 00, 01, , 09).

31 Если при последовательных независимых испытаниях события А (с вероятностью p совершения в одном испытании) число n испытаний фиксировано, то число m совершений случайно и имеет, как известно, биномиальное распределение. Если же зафиксировать число m, то число n (то есть необходимое число испытаний для получения заданного числа m совершений) будет случайно и иметь так называемое отрицательное биномиальное распределение

P(n)=p^m(1-p)^n-m; n=m, m+1, m+2,...

Записать первые 4 члена ряда этого распределения.

32. Производится 5 последовательных независимых испытаний события А при р=0.5. Записать ряд распределения случайного отношения числа совершений к числу несовершений.

33. Производится 5 последовательных независимых испытаний события А при р=0.5. Записать ряд распределения случайной разности числа совершений и числа несовершений.

34. Производится 5 последовательных независимых испытаний события А при р=0.5. Записать ряд распределения случайного произведения числа совершений и числа несовершений.

35. Распределение дискретной случайной величины X имеет вид

P_X(k)=A, k=0, 1, 2, ..., n; 0<p<1;

n-целое положительное.

Найти коэффициент нормировки А. Указание: сравнить с биномиальным распределением.

36. Распределение дискретной случайной величины Y имеет вид

P_Y(k)=B ; k=0, 1, 2, ...,; 0.

Найти коэффициент нормировки B.

37. Распределение дискретной случайной величины Z имеет вид

P_Z(k)=C(1-p)^k ; k=0, 1, 2, ...,; 0<p<1.

Найти коэффициент нормировки С.

38. Распределение дискретной случайной величины V имеет вид

P_V(k)=E/n ; k=1, 2, ..., n.

Найти коэффициент нормировки E.