Конспект лекций Глазова / тема 11. Числ хар непр вел-н

Тема 11. Числовые характеристики

непрерывных случайных величин.

1. При определенных условиях направление случайного вектора задается случайным углом , имеющим равномерное распределение в интервале (0, 2). Найти математическое ожидание и дисперсию этого угла.

2. Начальная фаза некоторого колебания - равномерно распределенная величина в интервале (-, ).Записать плотность вероятности этой величины и найти с ее помощью коэффициент асимметрии распределения; объяснить результат.

3. При округлении чисел по обычным правилам возникает ошибка представления, имеющая равномерное распределение. Записать плотность вероятности этой ошибки при округлении до десятых долей единицы и с ее помощью найти математическое ожидание и дисперсию ошибки.

4. При округлении интервала времени «с двух сторон», как это происходит, например, при дискретизации времени, возникает ошибка, имеющая треугольное распределение (Симпсона), сосредоточенное на интервале (-a, a), a>0. Найти дисперсию этой ошибки.

5. Продавец взвешивает товар на не отрегулированных весах с цифровым отсчетом, в результате возникают как случайная, так и систематическая ошибки. Суммарная ошибка X при взвешивании на этих весах имеет плотность вероятности (треугольное распределение)

f(x)=0, -<x<a;

f(x)=A (x-a), a<x<(a+b)/2;

f(x)=A (b-x), (a+b)/2<x<b;

f(x)=0, b<x<,

где b>a.

Найти математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану суммарной ошибки.

6. Логарифм яркости в произвольной точке некоторого изображения - случайная величина, функция распределения которой (закон арктангенса)

F(x)=0.5+0.5 th(ax), a>0, -<x<.

Найти математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану этого распределения.

7. Сигнал представляет собой синусоиду с амплитудой А и со случайной фазой, которая имеет равномерное распределение на интервале (0, 2). Мгновенное значение этого сигнала в произвольный момент времени - случайная величина, имеющая функцию распределения (закон арксинуса)

F(x)=0, x<-A;

F(x)=0.5+^-1arcsin(x/A), -A<x<A;

F(x)=1, x>A.

Найти математическое ожидание сигнала.

8. Плоский экран освещается тонким лучом света; источник света находится на расстоянии а от экрана; направление луча случайно, так что угол между лучом и нормалью к экрану - случайная величина, имеющая равномерное распределение на интервале (-/2, /2). В этих условиях расстояние от освещенной точки на экране до основания перпендикуляра, опущенного из источника света на экран, - случайная величина, имеющая распределение с плотностью вероятности (центральное распределение Коши)

f(x)=^-1a (x²+a²)^-1, -<x<.

Убедится, что интегралы для начальных моментов любого порядка k>1 расходятся и дать интерпретацию этому факту. Что можно сказать о центральных моментах этого распределения? Означает ли несуществование моментов, что данная плотность «неправильная»? Существуют ли у этого распределения мода и медиана, и если да, то чему они равны? Придумайте вместо дисперсии новую меру разброса случайной величины, не нуждающуюся в вычислении моментов и основанную на вычислении определенной вероятности.

9. На входы блока деления поступают два сигнала, представляющие собой случайные функции времени (случайные процессы), напряжение на выходе блока пропорционально отношению входных сигналов. Мгновенные значения входных сигналов имеют нормальные распределения, мгновенное значение выходного напряжения - случайная величина, имеющая распределение с плотностью вероятности (нецентральное распределение Коши)

f(x)=^-1a [(x-b)²+a²]^-1, -<x<, a>0, b>0.

Найти моду и медиану этого распределения.

10. В однородном пуассоновском потоке событий интервал между соседними событиями - случайная величина с плотностью вероятности (экспоненциальное распределение)

f(x)=a exp(-ax), a>0, x>0.

Найти моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию распределения.

11. Отказы передатчика и приемника РЛС независимы и представляют собой пуассоновские потоки. Интервал между первым после включения РЛС отказом передатчика и первым отказом приемника представляет собой случайную величину с плотностью вероятности (распределение Лапласа)

f(t)=(a/2)exp(-a), a>0, -<t<.

Найти моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию распределения. Можно ли найти моду, медиану и математическое ожидание, не беря никаких интегралов?

12. В теории надежности возникает распределение (нецент-ральное распределение Лапласа)

f(x)=(a/2) exp(-a ), a>0, -.

Найти моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию этого распределения.

13. В теории ошибок и в теории массового обслуживания часто возникает распределение с плотностью вероятности (показательно-степенное распределение)

f(x)=x^m(m!)^-1exp(-x), m - целое, 0<x<.

При m=1 найти математическое ожидание и дисперсию распределения.

14. В теории массового обслуживания, в теории надежности и других применениях важное значение имеет факт, что в пуассоновском потоке событий (отказов, вызовов и т. п.) случайная величина суммы n смежных «пустых» интервалов имеет распределение (Эрланга) с плотностью вероятности

f(x)=bⁿ[(n-1)!]^-1 x^n-1exp(-bx), n>0, целое, b>0, 0<x<.

При n=2 найти математическое ожидание и дисперсию распределения.

15. Путем сравнения со стандартной записью плотности нормального распределения, не вычисляя интегралов, определить математическое ожидание и дисперсию распределения

f(x)=exp(-x²).

16. Не находя коэффициента нормировки A и не вычисляя никаких интегралов, определить дисперсию распределения

f(x)=Aexp(-x²/4).

17. Не находя коэффициента нормировки A и не вычисляя никаких интегралов, определить математическое ожидание и дисперсию распределения

f(x)=Aexp[-(x+2)²/2].

18. Не вычисляя интегралов, найти второй начальный момент СВ, функция распределения которой имеет вид

F(x)=1-exp(-x²), .

19. Найти второй начальный момент распределения Рэлея

f(x)=, >0, 0<x<.

20. Модуль скорости молекул газа при термодинамическом равновесии имеет распределение Максвелла с плотностью вероятности

f(v)=²exp(-, >0, 0<x<.

Найти математическое ожидание модуля скорости.

21. Плотность вероятности распределения Накагами, используемого в теории связи как обобщенное распределение, имеет вид

f(x)=, m>1/2, >0, 0<x<.

При m=2 найти математическое ожидание этого распределения.

22. Функция распределения случайного времени безотказной работы аппаратуры имеет вид

F(x)=1-exp(-t/T), t>0.

Найти среднее время безотказной работы аппаратуры и выяснить смысл параметра T.

23. Функция распределения случайного времени безотказной работы аппаратуры имеет вид

F(x)=1-exp(-t/T), t>0.

Найти зависимость относительной среднеквадратичной флуктуации от параметра T.

24. При одиночном измерении напряжения цифровым вольтметром случайная ошибка имеет функцию распределения

F(x)=0, x<a;

F(x)=(x-a)/(b-a), a<x<b;

F(x)=1, x>b.

Найти дисперсию ошибки.

25. Суммарная ошибка измерения параметра детали по двухэтапной процедуре имеет функцию распределения

F(x)=0, x<a;

F(x)=2(x-a)²/(b-a)², a<x<(a+b)²;

F(x)=1-2(b-x)²/(b-a)², (a+b)/2<x<b;

F(x)=1, x>b.

Найти математическое ожидание и дисперсию суммарной ошибки.

26. Функция распределения случайной величины X имеет вид

F(x)=(1/2)exp(-ax), x<0;

F(x)=1-(1/2)exp(-ax), x>0.

Найти дисперсию и относительную среднеквадратичную флуктуацию этой величины.

27. Напряжение на выходе блока может с вероятностью 0.4 быть отрицательным и с вероятностью 0.6 положительным. В первом случае равновероятно любое значение от 0 до -5 В, во втором - равновероятно любое значение от 0 до 5 В. Найти среднее напряжение на выходе блока.

28. Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

f(x)=0, x<x₁;

f(x)=x²-x-2, x₁<x<x₂;

f(x)=0, x>x₂,

где x₁, x₂ - корни указанного квадратного трехчлена. Найти математическое ожидание величины X.

29. Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

f(x)=,

f(x)=0, .

Найти дисперсию этой величины.

30. Плотность вероятности случайных амплитуд A боковой качки корабля определяется формулой (распределение Рэлея)

f(x)=(a/) exp(-a²/2), ,

где - дисперсия угла крена. Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньшие и большие средней амплитуды?

31. В некотором государстве размер облагаемого налогом годового дохода наугад выбранного налогоплательщика - случайная величина с функцией распределения

F(x)=1-, x₀>0, >0, x>0,

где x₀ - минимальный доход, облагаемый налогом. Найти математическое ожидание и дисперсию облагаемого налогом годового дохода.

32. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой

p(t)=1-exp(-t) (>0).

Определить среднее время, необходимое для поиска судна.