Конспект лекций Глазова / 7.9. контр вопр к п 7

7.9. Контрольные вопросы к п. 7. «Предельные теоремы».

1. Что такое случайная последовательность?

2. Каково наиболее важное отличие случайной последовательности, ее частичных сумм, рядов и других объектов от детерминированной последовательности и ее объектов?

3. Может ли случайная последовательность сходится в обычном смысле?

4. Дайте определение сходимости случайной последовательности в среднеквадратичном.

5. Дайте определение сходимости случайной последовательности по вероятности.

6. Дайте определение сходимости случайной последовательности по распределению.

7. Расположите три вида сходимости случайной последовательности в порядке возрастания «силы» сходимости.

8. Что такое предельные теоремы математической статистики? На какие две группы они разбиваются?

9. Запишите неравенство Чебышёва в двух формах: в терминах абсолютного отклонения и в долях с.к.о.

10. В каком смысле неравенство Чебышёва «слабое» и можно ли его усилить, не обужая класса распределений?

11. Чему равно математическое ожидание статистического среднего простой выборки?

12. Чему равна дисперсия статистического среднего простой выборки?

13. К чему и в каком смысле сходится последовательность статистических средних простой выборки при стремлении ее объема к бесконечности?

14. Дайте словесную формулировку теоремы Чебышёва.

15. Сформулируйте обобщенную теорему Чебышёва.

16. Сформулируйте теорему Маркова. В каком смысле она обобщает обобщенную теорему Чебышёва?

17. Что такое устойчивость статистических средних?

18. В чем состоит практическая важность теоремы Чебышёва, обобщенной теоремы Чебышёва, теоремы Маркова?

19. Сформулируйте теорему Бернулли.

20. Сформулируйте теорему Пуассона.

21. В каком смысле теорема Пуассона есть обобщение теоремы Бернулли?

22. Что такое устойчивость частот?

23. В чем состоит практическая важность теоремы Бернулли и теоремы Пуассона?

24. Сформулируйте теорему непрерывности Леви-Крамера.

25. Какое свойство непрерывности требуется от предельной характеристической функции в теореме непрерывности Леви-Крамера?

26. Какие две функциональные последовательности сравниваются в теореме непрерывности Леви-Крамера?

27. Применение какого аппарата для доказательства центральной предельной теоремы подготавливает теорема непрерывности Леви-Крамера?

28. Является ли свойство, устанавливаемое теоремой непрерывности Леви-Крамера, необходимым, достаточным, или необходимым и достаточным?

29. Дайте определение характеристической функции непрерывной случайной величины.

30. Дайте определение характеристической функции дискретной случайной величины.

31. Чему равна характеристическая функция в нуле?

32. Как связаны начальные моменты случайной величины с производными характеристической функции в нуле?

33. В каком смысле характеристическая функция является средним от функции случайного аргумента?

34. Как, зная характеристическую функцию случайной величины, найти характеристическую функцию пропорциональной случайной величины?

35. Чему равна характеристическая функция суммы независимых случайных величин?

36. Что такое асимптотическая нормальность последовательности случайных величин?

37. Сформулируйте центральную предельную теорему Линдеберга-Леви.

38. Какой вид распределений слагаемых случайных величин предполагается в теореме Линдеберга-Леви?

39. Какие ограничения накладываются на распределения слагаемых случайных величин в теореме Линдеберга-Леви?

40. Какое предельное распределение имеет сумма выборочных значений простой выборки при ?

41. Какое предельное распределение имеет статистическое среднее простой выборки при ?

42. Приведите пример ситуации, в которой сумма независимых одинаково распределенных случайных величин не удовлетворяет теореме Линдеберга-Леви.

43. Каким образом дискретную случайную величину, имеющую биномиальное распределение, можно представить как сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин? Как называется распределение слагаемых в этом представлении?

44. Каково асимптотическое распределение биномиальной случайной величины при ?

45. Что такое композиция случайных величин?

46. Что такое распределение, устойчивое относительно композиции?

47. Сформулируйте свойство устойчивости распределения Пуассона относительно композиции.

48. Что такое безграничная делимость распределения?

49. Сформулируйте свойство безграничной делимости распределения Пуассона.

50. В чем состоит свойство асимптотической нормальности величины, имеющей распределение Пуассона?

51. Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин, распределенных по одному и тому же экспоненциальному закону? Как называется это распределение?

52. При каком условии случайная величина, имеющая гамма распределение, асимптотически нормальна? Каковы параметры асимптотического распределения?

53. Как называется распределение квадрата нормальной случайной величины с нулевым средним?

54. Как называется распределение суммы квадратов независимых нормальных случайных величин с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями.

55. Каково асимптотическое (при ) распределение случайной величины, имеющей центральное хи-квадрат распределение с n степенями свободы?