2. Случайные события и вероятности.

2.1. Классификация случайных событий.

Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений. Для них характерна невозможность заранее полностью предсказать результаты опытов, измерений, наблюдений. Такие результаты называют случайными. Назовем любой источник случайных результатов случайным экспериментом, понимая этот термин очень широко и включая в него любые опыты, измерения, наблюдения и т. п. Математическая и физическая природа случайных результатов может быть различной: это могут быть события, наборы событий, величины, наборы величин, функции, процессы, поля и т. д.

Случайными событиями (далее, для простоты, иногда просто событиями) назовем такие исходы случайных экспериментов, к которым приложимы понятия произошло - не произошло, совершилось - не совершилось. За исключением специально оговоренных случаев (достоверное событие, невозможное событие), невозможно заранее, до проведения случайного эксперимента, указать, совершится данное событие или нет; но можно говорить о возможности совершения события и оперировать мерой этой возможности. Как правило, будем обозначать события прописными буквами латинского алфавита.

Приведем примеры случайных событий. Пусть случайный эксперимент - измерение температуры T и модуля скорости V воздуха в данной точке атмосферы. Рассмотрим события:

A: T(10, 15)⁰C, при V>3м/с; B: T>12⁰C при V(2, 5)м/с;

C: T<5⁰C (любое V).

Ясно, что в данном случайном эксперименте можно ввести в рассмотрение любое число событий. Набор рассматриваемых событий определяется постановкой рассматриваемой задачи. Так, если нас интересует, насколько часто в данных условиях будет положительная температура, то может оказаться, что достаточно рассмотрения двух событий: D: T<0; E: T>0.

Если при совершении события A событие B обязательно совершается, то говорят, что A влечет B и пишут AB. Пусть, например, А: наугад взятое число оканчивается нулем; В: наугад взятое число делится на 5. Очевидно, АВ.

Если А влечет В и В влечет А, то А и В называются эквивалентными и пишут А=В. Например, если С: наугад взятое число делится на 5; D: наугад взятое число оканчивается нулем или пятеркой, то C=D.

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в соответствующем случайном эксперименте. Будем обозначать достоверное событие D.

Событие называется невозможным, если оно обязательно не происходит в соответствующем случайном эксперименте. Будем обозначать невозможное событие N.

Пусть, например, при двух бросаниях монеты

А: выпадение двух решеток;

В: выпадение не более двух гербов;

С: выпадение трех решеток.

Здесь В - достоверное событие, С - невозможное событие.

Если событие не является достоверным или невозможным, но степень возможности его совершения очень мала или очень велика, то его называют практически невозможным или практически достоверным, соответственно.

Например, событие «выпадение 100 гербов в серии из 100 бросаний монеты» - практически невозможное событие, событие «1 января в Томске температура воздуха ниже +30⁰C» - практически достоверное событие.

Два события называются противоположными, если совершение одного влечет несовершение другого и наоборот. Будем обозначать противоположное событие с помощью черты сверху: противоположно событиюА, событие противоположно событиюВ и т. д. Очевидно, это свойство взаимно: А противоположно событию и т. д. Например, пустьА: выпадение герба при однократном бросании монеты, В: выпадение решетки при том же бросании, тогда В=,А=.

Два события называются несовместными, если их совместное осуществление в одном случайном эксперименте - невозможное событие. Пусть, например, А: температура в данной точке T<0⁰C, B: T>5⁰C. Тогда А и В - события несовместные.

Если два события не являются несовместными, то они называются совместными. Заметим, что совместность событий не означает обязательность их совместного осуществления, а говорит лишь о возможности этого.

Часто приходится рассматривать некоторую совокупность событий в рамках данного случайного эксперимента. Каждая такая совокупность называется группой событий. В группе может быть конечное или бесконечное число событий.

Группа событий называется полной, если в данном случайном эксперименте хотя бы одно из событий этой группы обязательно осуществляется. Другими словами, если группа событий полная, то не может случиться так, что в данном случайном эксперименте ни одно из событий этой группы не осуществилось. Если же такое может случиться, то группа называется неполной. Подчеркнем, что полнота группы связана не с количеством событий в ней: например, может случиться так, что группа из двух событий полна, в то время как другая группа из ста событий неполна.

Входящие в группу события могут находиться в определенных отношениях друг с другом, например, два или более из них могут быть эквивалентными, какие-то события могут влечь другие, какие-то события могут быть совместны или несовместны с другими и т. д. Если все события группы попарно несовместны, то она называется группой несовместных событий (слово «попарно» в этом термине опущено, так как если события не могут осуществляться попарно, то не могут и по три, и по четыре и т. д.). В теории вероятностей важное значение имеют полные группы несовместных событий, сочетающие свойства полноты и несовместности. Особый случай - полная группа двух несовместных событий. Читателю предлагается самому доказать простейшую теорему: для того, чтобы два события были противоположными, необходимо и достаточно, чтобы они составляли полную группу несовместных событий.