Конспект лекций Глазова / 7.8. Пред св-ва распр-ний

7.8. Предельные свойства некоторых распределений.

На основе центральной предельной теоремы иногда могут быть найдены предельные свойства распределений, т. е. свойства, приобретаемые распределениями при предельных значениях их параметров. Это иллюстрируется приведенными ниже примерами.

1. Биномиальное распределение. Выше неоднократно использовался факт, что дискретную целочисленную (со значениями от 0 до n) случайную величину Y_n , имеющую биномиальное распределение с параметрами p, n, можно представить суммой

Y_n=X₁+X₂+...+X_n

независимых случайных величин с одинаковыми распределениями Бернулли, т. е. X_k принимает значение 1 с вероятностью р, и значение 0 - с вероятностью q=1-p; при этом . Следовательно, выполнены условия теоремы Линдеберга-Леви, и Y_n распределена асимптотически нормально . Другими словами, дискретное биномиальное распределение асимптотически стремится к непрерывному нормальному распределению при .

2. Распределение Пуассона. Сначала выявим одно важное свойство этого распределения. Рассмотрим две независимые СВ X₁ и X₂, имеющие распределения Пуассона с параметрами , соответственно. Их характеристические функции (см. п. 3.7)

,

а характеристическая функция их суммы Y=X₁+X₂:

,

где

.

Т. о. сумма пуассоновских СВ есть снова пуассоновская СВ с суммарным параметром. По индукции можно заключить, что это свойство распространяется на любое конечное число пуассоновских СВ. Сумма независимых СВ называется их композицией. Если композиция величин, имеющих одинаковое с точностью до параметров распределение, дает такое же распределение, то это распределение называется устойчивым относительно композиции. Мы показали, что распределение Пуассона устойчиво относительно композиции. Это не единственное устойчивое распределение: например, нормальное распределение также устойчиво относительно композиции.

Можно доказать и обратное: пуассоновскую СВ Y с параметром можно представить в виде суммы

любого конечного числа n пуассоновских величин с параметрами , такими, что

.

Такое свойство называется безграничной делимостью распределения, и распределение Пуассона безгранично делимо.

Из безграничной делимости распределения Пуассона следует, что пуассоновскую СВ Y можно представить как сумму

Y=X₁+X₂+...+X_n

независимых, одинаково, по закону Пуассона с параметром , распределенных величин. Как видим, все условия теоремы Линдеберга-Леви выполнены, и Y - асимптотически нормально при . Поскольку , то получаем, что пуассоновская случайная величина с параметром асимптотически нормальна при .

3. Гамма-распределение. В теории надежности, теории массового обслуживания, статистической радиотехнике и других дисциплинах часто приходится рассматривать случайную величину

Yn=X1+X2+...+Xn , n=1, 2, ...,

(7.8.1)

где X_k - независимые случайные величины, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение (см. п. 3.8), задаваемое плотностью вероятности

.

(7.8.2)

Покажем, что Y_n имеет гамма-распределение (см. п. 5.4.2) с плотностью вероятности

.

(7.8.3)

Применим метод простой индукции. Пусть для величины

Y_n-1=X₁+...+X_n-1

это распределение справедливо и имеет вид

.

(7.8.4)

Поскольку

Y_n=Y_n-1+X_n ,

и слагаемые справа независимы, плотность величины Y_n может быть получена сверткой плотностей f_n-1(y), f₁(y) (см. п. 5.4):

.

Учтя, что f₁(y) - это плотность (7.8.2) экспоненциального распределения, и что функции под интегралом равны нулю при x<0, y-x<0, запишем

,

и подставляя сюда (7.8.4) и (7.8.2), получаем

.

Сделав замену переменной

y-x=t,

найдем

,

и получаем равенство (7.8.3). Поскольку при n=1 эта плотность справедлива, она по индукции выполняется для всех n.

Итак, мы доказали, что композиция одинаковых экспоненциальных распределений есть гамма-распределение (7.8.3). Отсюда немедленно следует, что ХФ величины Y_n равна произведению характеристических функций экспоненциально распределенных величин, т. е. (см. п. 3.8)

,

и ХФ величины Y_n равна

.

Представление (7.8.1) означает, что выполнены все условия теоремы Линдеберга-Леви, значит Y_n распределена асимптотически (при ) нормально . Для экспоненциального распределения (см. п. 3.8)

,

поэтому

,

и окончательно получаем, что гамма-распределение (7.8.3) асимптотически (при ) нормально .

4. Распределение хи-квадрат. В п. 5.4.1 было показано, что распределение квадрата нормальной N(0, 1) величины есть величина, имеющая хи-квадрат-распределение с одной степенью свободы, т. е. если Y=X² , где Х - нормальная N(0, 1), то плотность величины Y имеет вид

.

(7.8.5)

С помощью последовательных сверток или методом характеристических функций можно показать, что плотность вероятности величины

,

(7.8.6)

где - независимые нормальные N(0, 1) величины, имеет вид

,

где Г(.) - гамма-функция. Это центральное хи-квадрат-распределение с n степенями свободы, имеющее важное значение в математической статистике.

Представление (7.8.6) означает, что выполнены все условия теоремы Линдеберга-Леви, следовательно, Y_n асимптотически (при ) нормальна . Легко найти, что для распределения (7.8.5)

m=1, D=2, ,

отсюда для величины Y_n

.

В итоге получаем, что центральное хи-квадрат-распределение с n степенями свободы асимптотически (при ) нормально .