7.4. Теорема Чебышёва.

Лемма 7.4.1. Если случайная последовательность сходится к некоторой величине в среднеквадратичном, то она сходится к ней и по вероятности.

Доказательство. Пусть случайная последовательность X₁, X₂,...сходится к А в среднеквадратичном, тогда по определению этого вида сходимости

.

(7.4.1)

Возьмем в неравенстве (6.3.1) Y=X_n-A, тогда это неравенство примет вид

.

Из (7.4.1) следует, что числитель дроби в правой части стремится к нулю при , значит

,

а это по определению означает, что случайная последовательность X₁, X₂,...сходится к А по вероятности, ч. т. д.

Лемма 7.4.2. Математическое ожидание статистического среднего равно математическому ожиданию генеральной СВ, т. е.

.

(7.4.2)

Доказательство. Статистическое среднее равно (см. (6.3.2))

,

и является случайной величиной. Используя результаты п. 5.3, находим:

,

или

,

ч. т. д.

Лемма 7.4.3. Дисперсия статистического среднего равна

.

(7.4.3)

Доказательство. Поскольку выборочные значения независимы, используя результаты п. 5.3, запишем

,

ч. т. д.

Три доказанные леммы имеют самостоятельное значение для математической статистики и неоднократно будут использоваться в дальнейшем.

Теорема 7.4.1. При простом случайном отборе последовательность статистических средних при сходится к m_x в среднем квадратичном.

Поясним формулировку теоремы. Пусть из одной генеральной совокупности получена последовательность выборок все возрастающего размера n, и в каждой выборке найдено свое статистическое среднее . Теорема утверждает, что полученная таким способом случайная последовательность величин сходится к математическому ожиданию генеральной совокупностив среднем квадратичном.

Доказательство. Как следует из определения сходимости в среднем квадратичном (см. формулу (7.1.1)), требуется доказать, что

при .

(7.4.4)

Поскольку, как следует из леммы 7.4.2, разность есть центрированное значение величины, то выражение слева от стрелки есть дисперсия этой величины. Как следует из леммы 7.4.3, эта дисперсия стремится к нулю при, ч. т. д.

Следствие из теоремы 7.4.1 (теорема Чебышёва). При простом случайном отборе последовательность статистических средних при сходится к m_x по вероятности. Действительно, как следует из леммы 7.4.1, если последовательность статистических средних сходится к m_x в среднем квадратичном, то она сходится к тому же пределу и по вероятности.

7.5. Обобщения теоремы Чебышёва.

Возможны два обобщения теоремы Чебышёва. Одно из них относится к отбору в изменяющихся условиях, когда математические ожидания и дисперсии выборочных значений различны (обобщенная теорема Чебышёва). Другое обобщение рассматривает случай зависимого отбора (теорема Маркова).

Обобщенная теорема Чебышёва. Пусть имеется неоднородная выборка x₁, x₂, ..., x_n , выборочные значения которой - значения соответствующих независимых случайных величин X₁, X₂, ..., X_n с математическими ожиданиями m₁, m₂, ..., m_n и дисперсиями D₁, D₂, .., D_n , причем все дисперсии меньше некоторого положительного В. Тогда при статистическое среднее сходится по вероятности к среднему арифметическому

.

(7.5.1)

Поясним формулировку теоремы. Выборка получена из разных генеральных совокупностей и поэтому неоднородна: х₁ - значение СВ Х₁, х₂ - значение Х₂, и т. д. Все увеличивая объем выборки n, и находя в каждой выборке статистическое среднее

,

получаем бесконечную последовательность Теорема утверждает, что эта случайная последовательность сходится кпо вероятности.

Доказательство. Докажем сначала нечто большее: что последовательность сходится к в среднем квадратичном. Имеем:

,

.

Следовательно,

,

т. е.

,

а это означает, что сходится кв среднем квадратичном. В соответствии с леммой 7.4.1, отсюда следует, чтосходится ки по вероятности, ч. т. д.

Теорема Маркова. Пусть имеется неоднородная зависимая выборка x₁, x₂, ..., x_n , выборочные значения которой - значения соответствующих зависимых случайных величин X₁, X₂, ..., X_n с математическими ожиданиями m₁, m₂, ..., m_n , и пусть

.

(7.5.2)

Тогда сходится по вероятности к .

Доказательство. Имеем:

,

при .

Поэтому

,

т. е. сходится кв среднем квадратичном, а следовательно, и по вероятности, ч. т. д.

Очевидно, что теорема Маркова является обобщением обобщенной теоремы Чебышёва. Действительно, в частном случае независимой неоднородной выборки условие (7.5.2) выполняется в силу полученного выше неравенства

,

следовательно, в этом случае из теоремы Маркова следует обобщенная теорема Чебышёва.

Теорема Чебышёва, обобщенная теорема Чебышёва и теорема Маркова устанавливают устойчивость статистических средних и имеют важное практическое значение: они показывают, что статистическое среднее может служить оценкой математического ожидания генеральной СВ, если выборка однородна, или среднего арифметического математических ожиданий, если выборка неоднородна, причем точность оценки нарастает с увеличением объема выборки.