7. Предельные теоремы.

Как и теория вероятностей, математическая статистика оперирует новыми математическими объектами: случайными величинами, случайными последовательностями и т. д. Поэтому для ее развития потребовалось некоторое усовершенствование математического аппарата. Даже при элементарном изложении математической статистики нельзя обойтись без математического обоснования некоторых вопросов, выходящего за рамки обычной «детерминистской» математики. Данный раздел отвечает этой цели. Кроме того, в этом разделе излагаются предельные (асимптотические) свойства распределений, сумм СВ и т. д., необходимые для дальнейшего изучения математической статистики.

7.1. Сходимость случайных последовательностей.

Определение. Случайной последовательностью называется такая последовательность, членами которой являются случайные величины.

Как и обычные (детерминированные) последовательности, случайные последовательности могут быть конечными и бесконечными. В некоторых отношениях свойства случайных последовательностей принципиально отличаются от свойств обычных последовательностей. Очевидно, например, что не только члены случайной последовательности, но и ее частичные суммы, ряды (суммы бесконечного числа членов), функции от членов последовательности являются случайными величинами. Далее, в общем случае случайная последовательность не может быть ограниченной. Действительно, пусть, например, члены случайной последовательности - непрерывные неограниченные СВ; тогда любой член этой последовательности с некоторой ненулевой вероятностью может превысить как угодно большую величину. Наконец, случайная последовательность не может сходится в обычном смысле. Действительно, пусть имеется последовательность случайных чисел X₁, X₂, ...X_k, ...Пределом в обычном смысле было бы такое число А, что при любом наперед выбранном найдется такой номерn, что , для всехk>n. Другими словами, начиная с некоторого члена последовательности, все следующие отклонялись бы от А (по абсолютной величине) меньше, чем на . Но случайная величина не может удовлетворять такому неравенству, т. к. всегда возможно, хотя может быть и с малой вероятностью, событие. Т. о., обычное понятие равномерной сходимости неприменимо к случайным последовательностям и необходимо ввести новое понятие сходимости последовательности.

Существует несколько видов сходимости случайных последовательностей. Мы рассмотрим три из них.

Если

,

(7.1.1)

то говорят, что последовательность X₁, X₂, ... сходится к А в среднеквадратичном (А может быть случайным или неслучайным). Другими словами, при этом виде сходимости средний квадрат отклонения члена последовательности от А стремится к нулю при бесконечном возрастании номера.

Если случайная последовательность такова, что для произвольного >0

,

то говорят, что последовательность сходится к А по вероятности (А может быть случайным или неслучайным). Другими словами, при этом виде сходимости вероятность отклонения члена последовательности от А стремится к нулю при бесконечном возрастании номера. Выше говорилось о возможности события . При сходимости по вероятности это событие также возможно, но его вероятность стремится к нулю при.

Если при функция распределения величины X_n стремится к функции распределения F_y(.) случайной величины Y во всех точках непрерывности F_y(.), то говорят, что последовательность сходится к Y по распределению (Y случайно).

Ниже будет показано, что из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности (см. ниже Лемму 7.4.1), и можно показать, что в свою очередь из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению. Следовательно, самый «сильный» вид сходимости из перечисленных - в среднеквадратичном, самый «слабый» - по распределению.