Конспект лекций Глазова / тема 9. Непрер распр

Тема 9. Непрерывные распределения.

1. При определенных условиях направление случайного вектора задается случайным углом , имеющим равномерное распределение в интервале (0, 2). Записать плотность вероятности величины с точностью до коэффициента нормировки, найти последний из геометрических соображений, найти функцию распределения.

2. Начальная фаза некоторого колебания - равномерно распределенная величина в интервале (-, ).Записать плотность вероятности этой величины и найти с ее помощью вероятность того, что начальная фаза принадлежит интервалу (-/2, /6). Какова геометрическая интерпретация результата? Затем найти функцию распределения начальной фазы и с помощью этой функции снова найти вероятность попадания в указанный интервал.

3. При округлении чисел по обычным правилам возникает ошибка представления, имеющая равномерное распределение. Записать плотность вероятности этой ошибки при округлении до сотых долей единицы, затем найти функцию распределения ошибки.

4. Мертвое время некоторого счетчика фотонов, то есть время после регистрации очередного фотона, в течение которого счетчик не чувствителен к появлению следующего фотона, - случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 10^-8) с. Какова вероятность, что фотон, поступивший на вход счетчика через 7 нс после предыдущего, не будет зарегистрирован?

5. При округлении интервала времени «с двух сторон», как это происходит, например, при дискретизации времени, возникает ошибка, имеющая треугольное распределение (Симпсона), сосредоточенное на интервале (-a, a), a>0. Записать и построить графически плотность вероятности этой ошибки, затем найти и построить график функции распределения. В чем смысл того, что плотность вероятности максимальна в нуле?

6. Продавец взвешивает товар на не отрегулированных весах с цифровым отсчетом, в результате возникают как случайная, так и систематическая ошибки. Суммарная ошибка X при взвешивании на этих весах имеет плотность вероятности (смещенное треугольное распределение)

f(x)=0, -<x<a;

f(x)=A (x-a), a<x<(a+b)/2;

f(x)=A (b-x), (a+b)/2<x<b;

f(x)=0, b<x<,

где a>0. Найти коэффициент A нормировки, функцию распределения, построить графики плотности вероятности и функции распределения. С помощью функции распределения найти вероятность того, что модуль случайной ошибки (отклонения X от центра симметрии x=(a+b)/2) превзойдет (b-a)/4.

7. Логарифм яркости в произвольной точке некоторого изображения - случайная величина, функция распределения которой (закон арктангенса)

F(x)=0.5+0.5 th(ax), a>0, -<x<.

Непосредственно по этой функции проверить условие нормировки, затем найти плотность вероятности f(x), построить графики обеих функций. Сколько параметров у этого распределения? Как меняется плотность вероятности при изменении параметра a? Дайте этому интерпретацию.

8. Сигнал представляет собой синусоиду с амплитудой А и со случайной фазой, которая имеет равномерное распределение на интервале (0, 2). Мгновенное значение этого сигнала в произвольный момент времени - случайная величина, имеющая функцию распределения (закон арксинуса)

F(x)=0, x<-A;

F(x)=0.5+^-1arcsin(x/A), -A<x<A;

F(x)=0, x>A.

Непосредственно по этой функции проверить условие нормировки, найти плотность вероятности, построить графики обеих функций. Сколько параметров у этого распределения? Как меняется плотность вероятности с изменением параметра A? Проверить, выполняются ли обязательные свойства функций F и f. Допустимо ли, что f имеет две бесконечные особенности и столь «странную» форму? Попробуйте объяснить такое поведение плотности вероятности.

9. Плоский экран освещается тонким лучом света; источник света находится на расстоянии а от экрана; направление луча случайно, так что угол между лучом и нормалью к экрану - случайная величина, имеющая равномерное распределение на интервале (-/2, /2). В этих условиях расстояние от освещенной точки на экране до основания перпендикуляра, опущенного из источника света на экран, - случайная величина, имеющая распределение с плотностью вероятности (центральное распределение Коши)

f(x)=^-1a (x²+a²)^-1, -<x<.

Проверить условие нормировки, построить график плотности вероятности. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Сколько параметров у этого распределения? Что происходит с функциями f(x), F(x) при изменении параметра a? Дайте этому интерпретацию. С помощью функции распределения найти вероятность

P(-a/2<X<a/2).

10. На входы блока деления поступают два сигнала, представляющие собой случайные функции времени (случайные процессы), напряжение на выходе блока пропорционально отношению входных сигналов. Мгновенные значения входных сигналов имеют нормальные распределения, мгновенное значение выходного напряжения - случайная величина, имеющая распределение с плотностью вероятности (нецентральное распределение Коши)

f(x)=^-1a [(x-b)²+a²]^-1, -<x<, a>0, b>0.

Проверить условие нормировки, найти функцию распределения F(x), построить графики обеих функций, без вычислений найти вероятность P(X<b), вычислить вероятность P(b-a/2<x<b+a/2). Сколько параметров у этого распределения? Как меняются функции F(x), f(x) с изменением параметров a и b? В каком смысле можно назвать a параметром размаха, b - параметром сдвига?

11. В математической статистике и теории ошибок широко применяется распределение Стьюдента, имеющее плотность вероятности

f(x)=A(1+x²/m)^-(m+1)/2, m=1, 2, ..., A>0, <x<,

где A - коэффициент нормировки. Сколько параметров в этом распределении? При каком значении m распределение Стьюдента переходит в центральное распределение Коши (см. задачу 9)? Постройте график f(x) при m=3.

12. В однородном пуассоновском потоке событий интервал между соседними событиями - случайная величина с плотностью вероятности (экспоненциальное распределение)

f(x)=A exp(-ax), a>0, x>0,

где A - коэффициент нормировки. Найти A. Записать функцию распределения F(x). Сколько параметров в этом распределении? Что происходит с функциями f(x), F(x) с изменением параметра a? С помощью функции распределения вычислить вероятности

P[X<1/(2a)], P[1/(4a)<X<1/(2a)].

13. Плотность вероятности экспоненциального распределения (см. предыдущую задачу)

f(x)=A exp(-ax), a>0, x>0,

- монотонно убывающая функция, т. е. возрастает с убыванием аргумента. Имея это в виду, а также вытекающее отсюда свойство, что в пуассоновском потоке малые «пустые» интервалы встречаются чаще больших, иногда говорят о «пуассоновском группировании» событий. Рассмотреть этот вопрос с точки зрения смысла плотности вероятности как «вероятности на единицу длины» в окрестности текущего значения аргумента. Кроме того, найти вероятность попадания в «десятипроцентный интервал», т. е. P[X(x, 1.1 x)] и объяснить монотонное возрастание этой вероятности с ростом x.

14. Если отказы радиоэлектронной аппаратуры представляют однородный пуассоновский поток, то плотность вероятности интервала между соседними отказами (или между включением в работу и ближайшим отказом) имеет вид

f(t)= exp(- t), >0, t>0,

где параметр имеет смысл среднего числа отказов в единицу времени. Для некоторого радиолокатора =0.01 отказа в сутки. Найти функцию распределения, и используя ее, определить вероятность, что радиолокатор откажет не позднее, чем через 25 суток после включения в работу.

15. Отказы передатчика и приемника РЛС независимы и представляют пуассоновские потоки. Интервал между первым после включения РЛС отказом передатчика и первым отказом приемника представляет собой случайную величину с плотностью вероятности (распределение Лапласа)

f(t)=(a/2) exp(-a), a>0, -<t<.

Найти функцию распределения, построить графики функций f и F. В чем смысл четности функции f(t)? Используя функцию распределения, найти вероятность P(<a^-1).

16. В теории массового обслуживания и в теории надежности часто возникает гиперэкспоненциальное распределение с плотностью вероятности

f(x)=, .

Найти функцию распределения и используя ее, вывести условие, связывающее величины .Сколько независимых параметров в этом распределении?

17. В теории ошибок и в теории массового обслуживания часто возникает распределение с плотностью вероятности (показательно-степенное распределение)

f(x)=x^m(m!)^-1exp(-x), m - целое, 0<x<.

Найти точку максимума этой функции (моду) и построить ее график. Сколько параметров у этого распределения?

18. В теории массового обслуживания, в теории надежности и других применениях важное значение имеет факт, что в пуассоновском потоке событий (отказов, вызовов и т. п.) случайная величина суммы n смежных «пустых» интервалов имеет распределение (Эрланга) с плотностью вероятности

f(x)=Ax^n-1exp(-bx), n>0, целое, b>0, 0<x<.

Найти коэффициент A нормировки. Сколько параметров в этом распределении? При каких значениях параметров это распределение переходит в экспоненциальное распределение (см. задачи 12 - 14), в показательно-степенное распределение (см. задачу 17)?

19. В радиоэлектронике, геофизике, теории надежности, теории массового обслуживания и многих других областях используется распределение с плотностью (гамма-распределение)

>-1, >0, 0<x<.

Сколько параметров в этом распределении? При каких значениях параметров это распределение переходит в экспоненциальное распределение (см. задачи 12 - 14), в показательно-степенное распределение (см. задачу 17), в распределение Эрланга (см. задачу 18)?

20. В теории надежности элементов радиоэлектронной аппаратуры и в других областях используется распределение Вейбулла с функцией распределения

F(x)=, >0, >0, 0<x<.

Проверить условие нормировки. Найти плотность вероятности, определить ее точку максимума (моду), построить график плотности при Сколько параметров у этого распределения? При каких значениях параметров это распределение переходит в экспоненциальное распределение?

21. Условимся для краткости записывать нормальное распределение с параметрами m, , т. е. с плотностью

f(x)=()^-1exp(-(2)^-1(x-m)²), ,

и функцией распределения F(x)=, где - функция «интеграл вероятности», в виде N(m, ). Записать плотность вероятности и функцию распределения N(-2, 3), N(1, 1). Нормальное распределение называется каноническим (стандартным), если m=0, =1, т. е. N(0, 1). Записать плотность вероятности и функцию канонического распределения.

22. Найти точку максимума плотности вероятности (моду) нормального распределения (см. задачу 21) двумя способами: с использованием логарифмического дифференцирования и из соображений симметрии. Найти само максимальное значение плотности. Как меняется график плотности вероятности нормального распределения (включая точку максимума и значение в этой точке) при изменении m, при изменении ?

23. Не вычисляя интегралов, определить, может ли функция

f(x)=exp(-x²)

быть плотностью вероятности какого-либо распределения?

24. Может ли функция F(x)=1-exp(-x²) быть функцией распределения? Если ответ положительный, то представляет ли она нормальное распределение?

25. Может ли функция f(x)=ax²+bx+c, a0 быть плотностью вероятности при -<x<; при 0<x<; на каком-либо конечном интервале?

26. При каких значениях коэффициентов квадратный трехчлен

f(x)=ax²+bx+c

является плотностью вероятности случайной величины, распределенной на интервале, и каков этот интервал?

27. В теории надежности, при описании промышленных и атмосферных помех, а также флуктуаций сигналов при их распространении на загоризонтных трассах, и во многих других случаях часто применяется логарифмически-нормальное распределение, имеющее плотность вероятности

f(x)=Ax^-1exp[-(2)^-1(lnx-a)²], >0, 0<x<.

Найти коэффициент нормировки A, точку максимума плотности (моду), построить график плотности при a=0, =1, записать функцию распределения, используя функцию «интеграл вероятности»

.

28. Модуль двумерного вектора, составляющие которого независимы и имеют одинаковое нормальное распределение с нулевым средним, распределен по закону Рэлея с плотностью вероятности

f(x)=, >0, 0<x<.

Это же распределение встречается в измерениях замираний при ионосферном и тропосферном рассеянии радиоволн, в теории рассеяния волн на шероховатой поверхности, в теории надежности электровакуумных приборов и во многих других случаях. Проверить условие нормировки. Найти функцию распределения. Сколько параметров у этого распределения? Найти точку максимума плотности (моду) и значение максимальной плотности. Построить график плотности при =1. Как меняется плотность вероятности при изменении ? Найти P(x<).

29. Модуль скорости молекул газа при термодинамическом равновесии имеет распределение Максвелла с плотностью вероятности

f(v)=²exp(-, >0, 0<x<.

Найти точку максимума плотности (моду) и значение максимальной плотности, построить график плотности при =1, найти вероятность P(x<). Как меняется плотность вероятности при изменении ?

30. Плотность вероятности распределения Накагами, используемого в теории связи как обобщенное распределение, имеет вид

f(x)=, m>1/2, >0, 0<x<.

Сколько параметров у этого распределения? Найти точку максимума плотности вероятности (моду) и значение максимальной плотности. Как меняется плотность при изменении параметров? При каких значениях параметров это распределение переходит в нормальное распределение; в распределение Рэлея; в распределение Максвелла? Построить график плотности при m=2.

31. В некотором государстве размер облагаемого налогом годового дохода наугад выбранного налогоплательщика - случайная величина с функцией распределения

F(x)=1-, x₀>0, >0, x>0,

где x₀ - минимальный доход, облагаемый налогом. Найти плотность вероятности. Сколько параметров в этом распределении? Как меняется плотность при изменении параметра и каков его социальный смысл? Найти доход, вероятность превзойти который равна 0.5 (медиана).

32. Функция распределения случайного времени безотказной работы аппаратуры имеет вид

F(x)=1-exp(-t/T).

Найти вероятность P(x<T) и на этой основе выяснить, каков смысл параметра T.

33. Эксцентриситет изготовленной детали - случайная величина с функцией распределения (распределение Рэлея, см. задачу 28)

F(x)=1-exp[-x²/(2²)],

где =0.2. Каков наиболее вероятный эксцентриситет (мода) и чему равен эксцентриситет, вероятность превзойти который равна 0.5 (медиана)?

34. Функция распределения случайной величины X имеет вид

F(x)=a+b arctg(x/2), .

Используя обязательные свойства функции распределения, найти постоянные a, b. Найти плотность вероятности. Как называется это распределение (см. задачу 9)?

35. При одиночном измерении напряжения цифровым вольтметром случайная ошибка имеет функцию распределения

F(x)=0, x<a;

F(x)=(x-a)/(b-a), a<x<b;

F(x)=1, x>b.

Найти плотность вероятности и назвать распределение.

36. Суммарная ошибка измерения параметра детали по двухэтапной процедуре имеет функцию распределения

F(x)=0, x<a;

F(x)=2(x-a)²/(b-a)², a<x<(a+b)²;

F(x)=1-2(b-x)²/(b-a)², (a+b)/2<x<b;

F(x)=1, x>b.

Найти плотность вероятности и назвать распределение (см. задачу 5).

37. Функция распределения случайной величины X имеет вид

F(x)=(1/2)exp(-ax), x<0;

F(x)=1-(1/2)exp(-ax), x>0.

Найти плотность вероятности и назвать распределение (см. задачу 15).

38. Напряжение на выходе блока может с вероятностью 0.4 быть отрицательным и с вероятностью 0.6 - положительным. В первом случае равновероятно любое значение от 0 до -5 В, во втором - равновероятно любое значение от 0 до 5 В. Записать плотность вероятности случайного напряжения на выходе блока, найти функцию распределения, используя последнюю, найти вероятность P(-2<X<2).

39. Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

f(x)=0, x<x₁;

f(x)=x²-x-2, x₁<x<x₂;

f(x)=0, x>x₂,

где x₁, x₂ - корни указанного квадратного трехчлена. Найти точку максимума плотности вероятности (моду) и значение максимальной плотности, записать функцию распределения и с ее помощью найти вероятность P(-0.5<X<1).

40. Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

f(x)=,

f(x)=0, .

Найти функцию распределения и вычислить вероятность

P(-0.3<X<0.5).