8.3.2. Критерий согласия а. Н. Колмогорова.

Этот критерий в ряде отношений отличается от критерия хи-квадрат. Пусть точно известна теоретическая функция распределения F(x) и выборка не группирована. В качестве меры расхождения теоретического распределения и выборочных данных возьмем максимальное значение модуля разности между F(x) и статистической функцией распределения F^*(x):

.

(8.3.9)

Такая мера расхождения позволяет построить критерий с исключительно простыми свойствами распределения величины критерия. А именно, А. Н. Колмогоров показал, что если взять величину критерия в виде , то вероятность неравенства

не зависит от вида и параметров теоретической функции распределения F(x) и при стремится к пределу

.

(8.3.10)

Таблица 8.3.1.

	P()		P()		P()
0.0	1.000	0.7	0.711	1.4	0.040
0.1	1.000	0.8	0.544	1.5	0.022
0.2	1.000	0.9	0.393	1.6	0.012
0.3	1.000	1.0	0.270	1.7	0.006
0.4	0.997	1.1	0.178	1.8	0.003
0.5	0.964	1.2	0.112	1.9	0.002
0.6	0.864	1.3	0.068	2.0	0.001

Рисунок 8.3.1.

Значения этого предела, рассчитанные по (8.3.10), приведены в табл. 8.3.1, график функции показан на рис. 8.3.1.

Алгоритм применения критерия А. Н. Колмогорова для проверки согласия теоретического распределения F(x) с выборочными данными сводится к следующему.

1) Строится теоретическая функция распределения F(x).

2) Строится статистическая функция распределения F^*(x). Напомним (см. п. 6.3 и формулу (6.3.1)), что F*(x) обладает всеми свойствами функции распределения дискретной СВ, у которой значения совпадают с выборочными значениями, а все вероятности равны 1/n.

3) Находится D как максимум модуля разности между F(x) и F*(x), согласно (8.3.9).

4) Задается критическая вероятность p_cr .

5) По табл. 8.3.1 (существуют таблицы с более мелким шагом), или по формуле (8.3.10) (на компьютере) находится вероятность того, что по чисто случайным причинам величина U превзойдет наблюденную величину критерия .

6) Вероятность сравнивается с критической вероятностьюp_cr и принимается решение: если , то принимается решение «отвергнуть гипотезуН₀», т. е. считать, что теоретическое распределение с функцией распределения F(x) не согласуется с выборочными данными»; если , то принимается решение «не отвергать гипотезуН₀», т. е. «нет существенных оснований считать, что теоретическое распределение не согласуется с выборочными данными».

Сравним критерий согласия А. Н. Колмогорова с критерием согласия хи-квадрат К. Пирсона.

1) Как и критерий хи-квадрат, критерий Колмогорова не может доказать (обосновать) согласованность теоретического распределения с выборочными данными, он только может в некоторых случаях отвергнуть Н₀ или не найти для этого оснований.

2) Так же, как и в предыдущем случае, необходимо критическую вероятность задавать до того, как найдена вероятность .

3) И на этот раз применение критерия связано с асимптотическим значением вероятности превышения наблюденного значения критерия, поэтому необходимо, чтобы n было достаточно большим (практически - несколько сотен).

4) И этот критерий достаточно прост в применении.

5) В отличие от критерия хи-квадрат, критерий Колмогорова можно применять только если гипотетическая теоретическая функция распределения F(x) полностью известна заранее из каких-то внешних, например, физических соображений, т. е. когда известен не только вид функции распределения, но и все ее параметры. Такая ситуация редко встречается на практике. Обычно из теоретических соображений известен только общий вид теоретической функции распределения, а ее параметры приходится оценивать по выборочным данным. При применении критерия хи-квадрат это обстоятельство учитывается уменьшением числа степеней свободы на число оцененных параметров. Критерий Колмогорова такого согласования не предусматривает. Если все же применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теоретического распределения оцениваются по выборочным данным, критерий дает заведомо завышенные значения вероятности ; поэтому возникает риск принятьН₀ в ситуации, когда предполагаемое теоретическое распределение плохо согласуется с выборочными данными.