Конспект лекций Глазова / 10.5. Испыт гипот биномиал

10.5. Испытание простых гипотез

с биномиальными распределениями.

Пусть получена простая выборка объема n, в которой каждое выборочное значение есть результат N последовательных независимых испытаний над событием А. Испытываются две гипотезы о параметре этих последовательных испытаний: Н₀ - что вероятность «успеха» в одном испытании равна р₀, против Н₁ - что эта вероятность равна р₁. Как видим, это простые параметрические гипотезы.

Выборка представляет собой n-мерный вектор k=(k₁, k₂,..., k_n) c целочисленными компонентами, удовлетворяющими условиям 0k_sN.

Распределения одного выборочного значения в гипотезах:

Пусть, для определенности, р₁>p₀.

Распределения выборки в гипотезах:

,

,

где

.

Отношение правдоподобия:

.

Неравенство для критической области в n-мерном пространстве W целочисленных векторов k:

J(k) ,

где - порог.

Неравенство для критической области в одномерном пространстве. Как видно из выражения для J(k), все выборочные данные содержатся в единственной величине G, следовательно, эта величина (и любая однозначная функция от нее) - достаточная статистика, и можно построить пороговое решающее правило. Выразив, с помощью логарифмирования, G через J:

,

где

=lnp₀-lnp₁, =lnq₀-lnq₁, <0,

получаем неравенство для критической области в одномерном пространстве величины G:

.

Для понимания результатов рассмотрения задачи более удобно перейти от G к статистике m*=G/n, имеющей ясный смысл: это выборочное среднее

.

Тогда неравенство для критической области в одномерном пространстве величины m* :

,

где - новый порог.

Решающее правило имеет вид:

если , то решение «Н₁»,

если ,то решение «Н₀».

Распределение решающей статистики в гипотезах. Для вычисления вероятностей ошибок, порога и мощности критерия необходимо знать распределение решающей статистики, в данном случае - величины m*, в гипотезах. Поскольку выборочные значения имеют дискретное распределение, то и m* - дискретная СВ. Однако, более удобно использовать непрерывную аппроксимацию распределения величины m*. Сначала найдем первые два момента этого распределения. Распределение выборочного значения - биномиальное с параметром р₀ в гипотезе Н₀, и параметром р₁ - в гипотезе Н₁; значит, математическое ожидание и дисперсия выборочного значения (см. п. 3.7) m_k=Np_r , D_k=Np_rq_r , где r равно 0 или 1. Отсюда находим математическое ожидание и дисперсию величины m* в гипотезах:

M(m*/H₀)=Np₀, D(m*/H₀)=Np₀q₀/n,

M(m*/H₁)=Np₁, D(m*/H₁)=Np₁q₁/n.

В п. 7.9 показано, что биномиальное распределение асимптотически (при бесконечном возрастании числа испытаний) нормально; отсюда можно вывести, что при

Nnp₀q₀>>1, Nnp₁q₁>>1,

распределения величины m* в гипотезах приближенно нормальны:

Вероятность ложной тревоги и порог. Найдем выражение через порог , затем обратим это выражение. Имеем:

.

Сделав в интеграле замену переменной

,

учтя выражение для функции «интеграл вероятности» и свойство

,

получим

.

Для обращения этого равенства относительно используем функцию , обратную функции . Тогда

,

и окончательно,

.

Мощность критерия:

,

и действуя так же, как при вычислении , получаем

.

Из этого выражения видно, что мощность критерия монотонно возрастает с увеличением объема выборки n.

10.6. Испытание гипотез о вероятности события.

До сих пор испытывались гипотезы относительно распределений; сейчас рассмотрим испытание гипотез о вероятности некоторого события. Пусть событие А может иметь в одном испытании или вероятность р₀, или вероятность р₁, причем в серии испытаний эта вероятность не меняется. Испытаем гипотезу Н₀: Р(А)=р₀ против альтернативы Н₁: Р(А)=р₁. Для этого проделаем серию из N независимых испытаний и по их результатам будем принимать решения. Число S совершений события А в серии испытаний будем рассматривать как одномерную выборку. Очевидно, распределение СВ S - биномиальное, и распределение выборки в гипотезах:

Пусть, для определенности, р₁>p₀.

Сравнивая с задачей предыдущего пункта, видим, что рассматриваемая задача представляет собой частный случай при n=1. Поэтому все необходимые результаты немедленно получаются из формул п. 10.5, если в них положить n=1.

Решающая статистика: s; распределения решающей статистики в гипотезах записано выше; их аппроксимации:

;

решающее правило:

если , то решение «Н₁»,

если ,то решение «Н₀».

Вероятность ложной тревоги:

;

порог:

;

мощность критерия:

.