Теория вероятностей

1. Введение.

1.1. Необходимость курса.

В любой отрасли знаний, в теории и эксперименте мы всегда сталкиваемся со случайными явлениями. Для них характерна невозможность заранее полностью предсказать результаты опытов, измерений, наблюдений. Такие результаты называют случайными. В этом смысле случайны, например, температура воздуха в данной точке атмосферы в данный момент времени, мгновенная частота автогенератора в данный момент времени, дальность полета конкретного пушечного снаряда, мгновенное напряжение на концах конкретного резистора, и т. д. Последовательная реализация такой случайной величины во времени или в пространстве образует флуктуации, особенно характерные для радиоэлектронных приложений. Флуктуирует диэлектрическая проницаемость воздуха на трассе распространения радиоволн; в связи с этим флуктуирует напряженность электрического поля в месте приема этих волн; флуктуируют, хотя и в разной степени, токи и напряжения в различных точках аппаратуры, напряжение в сети питания, коэффициенты усиления каскадов схемы, метеорологические параметры атмосферы, температура в помещении, освещенность площадки рассеянным солнечным светом и т. д. Особый вид флуктуаций токов и напряжений представляют собой шумы, в частности, тепловые, дробовые и другие. Другую природу имеют такие потоки случайных событий, как последовательность отказов сложного аппаратурного комплекса, последовательность регистраций космических частиц, последовательность природных или техногенных катастроф, последовательность бытовых «неприятностей» и т. д. Никого не удивляет случайность роста, веса и возраста последовательных пациентов врача, флуктуации температуры тела и артериального давления больного, случайный характер нарисованных морозом картин на окне, природных ландшафтов, распределения полезных ископаемых в регионе и т. д.

Сказанное не означает существования необъяснимых, беспричинных, сверхъестественных явлений. Все происходящие в мире явления причинно обусловлены, связаны с другими явлениями, объяснимы. Случайность физических, химических, биологических проявлений и механизмов взаимодействий имеет свои причины и свои закономерности, но эти закономерности имеют другой характер, чем привычные детерминистские законы.

Наука по необходимости модельна. Это означает, что представления, описания явлений, эффектов, взаимодействий, теории строятся на моделях, в большей или меньшей степени учитывающих различные причины, факторы, условия, но никогда не учитывающих их все и в полной мере. Возможны два принципиально разных подхода к явлениям окружающего мира, два метода его изучения: детерминистический и статистический. Детерминистический метод изучает и описывает явление на модели, предполагающей точные и однозначные результаты при данных начальных условиях. Таковы знакомые нам модели математического маятника, колеблющейся струны, прохождения детерминированного сигнала через линейную цепь с постоянными сосредоточенными параметрами и другие. Статистический метод изучает и описывает явление на модели, сразу предполагающей невозможность полного и однозначного описания результата опыта, эксперимента. Этот метод позволяет найти закономерности, проявляющиеся при неоднократных испытаниях в одних и тех же условиях, он изучает закономерности явлений в их массовой совокупности. В зависимости от целей исследования, постановки задачи, объема и качества имеющихся данных одни и те же проблемы могут решаться как детерминистическим, так и статистическим методом, часто последний является вынужденным. Существуют целые науки, основанные на статистическом методе, например, квантовая физика, в частности, квантовая механика, квантовая радиофизика, квантовая оптика, ядерная физика, физика элементарных частиц, физическая кинетика, генетика, статистическая механика, статистическая гидромеханика, статистическая радиотехника, теория информации, теория кодирования и другие.

Существует несколько причин для вынужденного применения статистического метода. Во-первых, фундаментальным фактом окружающего мира является то, что микроскопическая (то есть при малых временах, расстояниях, энергиях, массах и т. д.) структура вещества, излучения и их взаимодействий стохастична (от греческого стохастикос - умеющий угадывать), т. е. принципиально не может быть описана детерминистическим методом. Это проявляется, главным образом, в том, что как вещество, так и энергия дискретны, т. е. состоят из элементарных частиц (протонов, нейтронов, электронов, фотонов и других), атомов, молекул, индивидуальные «движения» и взаимодействия которых случайны, подчиняются соотношениям неопределенности и не подчиняются детерминистическим закономерностям. При этом привычные нам еще со школы детерминистические по характеру макроскопические объекты и закономерности являются всего лишь средними по большим совокупностям этих дискретных элементов и их взаимодействий. Например, вещества, потоки жидкости, электрические токи, электрические заряды, потоки света и т. д. в макроскопических количествах проявляют детерминистические свойства, поскольку содержат огромные количества, соответственно, атомов, электронов, фотонов, но в микроскопических количествах проявляют ярко выраженные стохастические свойства. То же относится и к взаимодействиям, например, поглощение и излучение света небольшим количеством атомов или молекул носит яркие черты случайности, в то время как те же взаимодействия при макроскопических количествах вещества и энергии могут быть описаны детерминистически. Во-вторых, даже в тех случаях, когда, казалось бы, можно дать полное детерминистическое описание взаимодействий и предсказание результата опыта, это бывает по разным причинам невозможно. Приведем яркий тому пример. Возьмем объем порядка 1 см³ газа при обычных давлении и температуре, т. е. систему порядка 10²⁰молекул. Пренебрежем квантовыми эффектами и будем считать молекулы точечными системами с небольшим числом степеней свободы, подчиняющимися законам классической механики. Предположим также, что законы взаимодействия между молекулами полностью известны (в настоящее время это еще не так). Чтобы рассчитать временную эволюцию системы, т. е. предсказать положения и скорости молекул через время t, нужно решить систему 6N дифференциальных уравнений первого порядка относительно 6N неизвестных, задав 6N начальных условий, где N - порядка 10²⁰. Покажем, что это невозможно и бесполезно по следующим причинам.

1. Представляется невозможным получить данные о координатах и составляющих скоростей всех молекул в один момент времени.

2. Даже если бы это было возможно, всей человеческой жизни не хватило бы, чтобы зафиксировать и ввести в компьютер эти данные (продолжительность человеческой жизни примерно 10¹⁰ сек).

3. В настоящее время невозможно представить себе компьютер, способный усвоить начальные данные, решить такое число уравнений и зафиксировать результаты в разумное время.

4. Даже если бы указанные трудности были преодолены, необходима огромная точность измерения и представления начальных данных, увеличивающаяся с ростом t. Так, для прогноза всего лишь на t=10^-6 c. необходимо представление начальных данных с 100 десятичными знаками, что усугубляет трудности, указанные в пп. 1-3.

5. Даже если преодолеть указанные трудности и получить координаты и скорости всех молекул, эта информация окажется бесполезной, т. к. не дает нам того, что мы фактически хотим знать, например, давления газа на стенку сосуда при заданной плотности и температуре. Как раз эти необходимые характеристики и получаются в кинетической теории газов с помощью статистического подхода.

В третьих, часто детерминистический метод изучения хотя и технически возможен, но требует неоправданно больших затрат времени, усилий, материальных средств и т. п. В этих случаях статистический метод представляет собой компромисс между подробностью и точностью получаемых результатов и простотой и наглядностью решения. Именно по этой причине статистические методы проникли в контроль качества продукции, астрономию, геофизику, медицину, криминалистику, военную науку, теорию передачи изображений, лингвистику и даже в чисто математическую теорию чисел. Важнейшим примером подобной ситуации является поведение существенно нелинейных систем. В последние десятилетия выяснилось, что эволюция существенно нелинейных систем даже с малым числом степеней свободы очень сложна, что проявляется, в частности, в сложности и запутанности их траекторий в фазовом пространстве, в появлении таких явлений, как странные аттракторы и т. п. Поэтому применение статистических методов в динамике таких систем естественно и оправданно. Другой актуальный пример - описание изображений для целей оптимизации систем передачи визуальной информации. Здесь применение статистического метода состоит в представлении изображений как реализаций случайного поля.

В четвертых, часто статистический метод применяется при недостаточности исходных данных, знаний о мешающих эффектах, окружающих условиях и т. п. В этих случаях статистический метод доставляет более простые модели, жертвующие точностью и подробностью описаний и представлений и дающие огрубленные результаты, усредненные «по области неведения». Так зачастую обстоит дело в анализе ошибок измерений, в практике допусков и посадок в машиностроении, при изучении распространения радиоволн в атмосфере и т. д.