Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-12

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

288 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 12

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE TO^KI

M1(;2 4 ;6) M2(;6 8 ;10) PARALLELXNO WEKTORU ~a = f4 ;1 ;6g: nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO \TOJ PLOSKOSTI I OB_EM

PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOORDINATNOGO UGLA.

2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ
8 3x + 2y ; 3z		; 1 = 0
< x + y + z ; 7 = 0:
:
POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ.
3. nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PRQMOJ
x ; 3	= y + 1	= z + 3
2	3	2

I PLOSKOSTX@, PROHODQ]EJ ^EREZ TRI TO^KI

A1(;1 2 ;3) A2(4 ;1 0) I A3(2 1 ;2) sOSTAWITX URAWNENIE PROEKCII DANNOJ PRQMOJ NA PLOSKOSTX.

4. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI					M(;3 ;2 4) DO PRQMOJ
			x ; 7	= y ; 3 = z + 1
			3		1	;2
5. pOSTROITX POWERHNOSTI
1)	x2 + y2 = 4x				2)	3z = 16	;	x2
3)	x2	y2	z2		4)	z + 1 =	;
3)	2	; 3	+ 4 = 1		4)	z + 1 =	;(x2 + 2y2)
5)	(z ; 2)2 = x2 + y2				6)	x = 2 ; p
5)	(z ; 2)2 = x2 + y2				6)	x = 2 ; p		y

6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

	x + y + z = 2
a)	x2 + y2 = 1
	z = 0

x2 + y2 + z2 = 32

b) y2 = x2 + z2y 0:

zadanie N 5

wARIANT 12

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

(3n + 1)3

;

(3n ;

1)3

; p

lim

(5n + 1)2

n!1

+ (3n + 3)2

x!9 px + 16

2n4 + 2

;

lim

10:

lim x

sin2

ctg3x

;

3 ;

!1 p5n4

2 p5n8 + 1

;

lim

arcsin(e2x

;

11:

nlim

n2 + 1

+ 5n

x!0

+ 2x

lim

4n+1

;

2n;2

12:

lim4

1 + sin5x

n!1

5 3n;1

+ 8

4n+1

x!; =2 ( + 2x)2

lim

(n + 2)!

13:

lim

ln(3x

; 1)

n!1 3(n + 2)!

(n + 1)!

x!1=3 p1 + cos 3 x

p2n + 5

; p5n + 1

;

lim

14:

lim (3

;

x)x;2

n!1 h

x!2

lim

+ 5x

; 1

15:

lim (3

;

2 cos x);cosec2x

1)(7x2 + 1)

x!1 (3x2 ;

x!0

2 ; 3x

lim

;

16:

lim

6x + 5

x!1 x3 + x2 + 3x ; 5

x!1 6x ; 1!

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI

x ! 0, ESLI

(x) = ln(cos x) + x2

(x) = x2 + sin x

2) (x) = 1 + p

; e;x2

(x) = tg35x + 2x2

x ! x0

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

1: ln(1 + pe

; 1)

x0 = 0

3: tg

x0 = 0

; 1 ; 1)

4: 1 ; cos

x0 = 8

2: arctg ( x

x0 = 1

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

1: y =

x + 2

jx + 2j

2x ; 1 x < 0

3: y = 8 3 + p

ex;1

x + 1 x > 4

y =

2 + ex;1

zadanie

N 6

wARIANT 12

pROIZWODNYE

nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

y =

y = arctg4 0

x + 1

Bx + pxC

;

A 2

5x2

y = qarcsin(1 + 2x) ; 2

y = ln

; x3

varctg

4xt2

x + 5

y = sin

p;3

tg2

y =

arcsin;3p2x

sin4 x

y = ln v

; cos 3x

y =

+ 67 e

utg

(2x

; 1)

(x + 2)

ln x

px2 + 3

10) y = (3 ln x + 2x)

arcsin3x

9): y = (th 2x)

11) 8

x = t3 + 1

12)

= p1

;

< y = t + t + 1

< y = tg p1 + t

13)

y px = ln(x

; y

)

14)

tg3 x

+ p

= (1 + y

)

nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00

FUNKCII

y = (5x

;

ln2 x

= tg2t

< y

= ctg

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

sin x

y = 3

+ 2

xo =

cos2 x

cos4 x

8 x

= p

2t ; t2

to = 2

q(t ; 1)

4. nAJTI PERWYJ dy:I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

x + 1

1) y = x p1 + x2

2) y =

; 7

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ

y =

x + 1

y = x3 ; 2

UDOWLETWORQET URAWNENI@ x(x3 + 1)

y0 + (2x3

;

zadanie N 7

wARIANT 12

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

x + 1

1) y = 5

2) y = 3

x + 1

y = x2 ln x

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

x4 + 27

1) y = px2 + x + 1 ; px2 ; x + 1

2) y =

2x3

3) y = 1 ; e;1=x

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

1) y =

10x

2) y = 5x e;x

(1 + x)3

3) y = x q(x ; 1)

KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNKCII W TO^KE S ABSCISSOJ x =

xo,

ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@ PARAMETRA

t = to

1) y =

x16 + 9

x0 = 1

1 ; 5x2

8 x = t sin t + cos t

t0 = =4

< y = sin t ; t cos t

iZ WSEH PRQMOUGOLXNIKOW DANNOGO PERIMETRA P NAJTI TOT, U

KOTOROGO DIAGONALX NAIMENX[AQ.

nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

y =

2x + 2;x

W INTERWALE

[;1 2]

ln 2

7. iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY

lim 1 ; 4 sin

lim px2

lim ctg x ln(x + ex)

x!1 1 ; x2

x!1

x!0

10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@

zadanie

N 8

fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

wARIANT 12

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

z = arcsinx

2) z =

;

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

FUNKCIJ

z = 3x cos x ; ex3 cos2 y

z =

; y

tg3(xy)

ln 3x

4x + 5y

z =

arcctg

;

z = arcsiny

; x

;

ln tg (7x y3)

3x5

3. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx

I zy

SLOVNOJ FUNKCII

z = tg (3u2 ; v + 5)

GDE

u = x sin3 y v =

4. nAJTI PROIZWODNU@

zt0 ,

ESLI

z = sin(10x ; 3y)2

x = 4t3

; 6t2 + 1

GDE

y = ;

5. nAJTI PROIZWODNYE

d z

ESLI

d x

z =

GDE

y = tg2 x

cos(xy)

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0 NEQWNOJ FUNKCII y(x), ZADANNOJ WYRAVE- NIEM

= 3xy

= x2 ; y3

1) sh(2x ; 5y) ;

2) y

; x

ln y

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

ZADANNOJ WYRAVENIEM

y + 4x ; pyz + qy

; z

= x

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z DIFFERENCIALY FUNKCII z = arctg 2xy

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-

NOSTI z = 6x2 ; 4xy + 3y2 + 14x + 7y + 8 W TO^KE M0(;2 ;1 z0) z = ypx ; 2y2 ; x + 14y

11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII
2	3	2	W ZAMKNUTOJ OBLASTI D : fx	2	y 2g
z = (x ; y	) q(x ; 1)		W ZAMKNUTOJ OBLASTI D : fx		y 2g

zadanie N 9

wARIANT 12

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

11:

13:

15:

17:

19:

21:

23:

25:

27:

29:

31:

33:

35:

37:

arccos3 x ; 1

;

Z p1 ; sin 2x dx

cos2 x dx(4 ; 5tg x)

(5 + 4 ln2 x)

p334x dx

;

x sin2 x dx

arctg p

5x ; 1

2x cos x dx

+ 4x ;

(4x

;

6)dx

2x2 + 2x

+ 5

(x3

+ 1) dx

5x2 + 6x

;x2 dx

(x2 ;

3x + 2)2

px dx

;

q x2

(1 + px)

16 ; x2

cos3 x sin3 x

2 sin x

;

cos x + 5

ctg

x dx

(ex + 1)2

2: Z

1 ;

! qxpx dx

4: Z

ctg2

3x dx

6: Z

x4 p

1 ; 6x5

8: Z x2 e4;5x3 dx

arctg p

10:

(1 + x) dx

ln x

12:

14:

ex2 dx

16:

x sin x dx

cos3 x

18:

+ 7x

;

20:

x dx

5 + x ; x2

22: Z

(x2

+ x) (1 + x + x2)

24: Z

(x3

+ 6x2

+ 8x + 8) dx

(x + 2)2 (x2 + 4)

26:

x + 2

28:

6 ; x

t 2

; 14

30:

px ; 9 dx

sin5xx dx

32:

pcos3 x

34:

1 + sin2 x

36:

cos 2x cos 7x dx

38:

zadanie N 10

wARIANT 12

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY
				p
	ln 2	dx		p	6
1)	Z	dx	2)	Z			p6;x2 dx

		ex(3+e;x)
	0			0
	=3	dx		3			dx
4)	Z		5)	Z
4)	Z	cos x	5)	Z		x3		;	1
	0			2				;
	0			2

	=2
3)	Z	x cos x dx
	0
	1		x dx
6)	Z	p	x dx

			5	;	4x
	;1			;

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

y =

[ln 3

ln 5]

y = sin2 x cos x

=2]

ex ; 2

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

1) Z

2) Z

p3 + x3 dx

1 + 0 5 cos x

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

(x+2) dx

cos 3x dx

+4x+1)

;

sin 3x)

(1=x)

1q=x

1arctg

4) Z

3) Z

(1 + x2)3=2 dx

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI:

= x2

= p3 cos '

= t2

= 2p2x:

= sin ':

= 2t ; t3

y = 0:

. nAJTI OB_<M TELA, OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY, OGRANI^EN-

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI: 1) { WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY:

x2 + (y

; b)2 = a2

y = 2

; x2=2

(a < b):

x + y = 2:

. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH:

= et

L :

y = 2 + chx

L :

cos t

0 x 1:

y = et

sin t

0 t ln :

) NA PRQ-

. wETER PROIZWODIT RAWNOMERNOE DAWLENIE (P = 100

N=M

MOUGOLXNU@ DWERX [IRINOJ 1 M I WYSOTOJ 2 M. oPREDELITX MOMENT SILY DAWLENIQ WETRA OTNOSITELXNO KRAQ DWERI, PODWE[ENNOGO NA PET- LQH. kAKU@ SILU NUVNO PRILOVITX K SWOBODNOMU KRA@ DWERI, ^TOBY PRIOTKRYTX EE?

zadanie N 11

wARIANT 12

kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE

Z Z

f(x y) dx dy

PEREJTI K POWTORNOMU I

(D)

RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ

LINIQMI:

1) x2=4 + y2 = 1

y 0 y 2x:

2) y2 = 2x

; y = 4:

2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE

J = Z

f(x y) dy +

f(x y) dy:

;(x+2)

3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX

Z Z (2

; x) dx dy

D : fx x2 + y2 4xg:

(D)

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

y =

4y = x2:

+ 4

2) y = 4x + x2 y = x + 4:

5. wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D),

PRI ZA-

DANNOJ

POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI

(x y)

1) D :

fy2 x

1g (x y) = 4

; y ; x:

2) D : f4 x2 + y2

9 g

(x y) = 5y ; 3x:

6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL

Z Z Z

f(x y z) dx dy dz

(V )

W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI

(V),

OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:

1) z = 16

y2 x + y = 4 x

0 y

0 z

2) x + y

; z

= ;1 x

+ y

= 1:

7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:

1) z = x2 + y2 y = x2 y = 1 z = 0:

2) x2 = 2(z2 + y2) x = 4 y

8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX

f1 x2 + y2 + z2

V :

4 z 0

;x y

PRI UKAZANNOJ OB_EMNOJ PLOTNOSTI

(x y z) = xz:

zadanie N 12

wARIANT 12

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL

x2 + y2

(L)

GDE L ; DUGA LINII = a(1 + cos ')

(0 ' ).

nAJTI DLINU U^ASTKA CEPNOJ LINII

y = 2 ex + e;x ;2 x 2:

nAJTI MASSU DUGI \LLIPSA

8 x = 2 cos t

t 2 [0 =2]

< y = 4 sin t

ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX (x y z) = 2y:

nAJTI PLO]ADX ^ASTI SFERY x2 + y2 + z2 = 4

RASPOLOVEN-

NOJ WNUTRI CILINDRA

x2 + y2 = 2Ry

y 0:

GDE (S); ^ASTX POWERHNOSTI PARABO-

wY^ISLITX

(S)

LOIDA 2z = x2 + y2 WYREZANNAQ PLOSKOSTQMI z = 1

z = 2:

nAJTI MASSU ^ASTI PLOSKOSTI

x + 2y + 3z = 6

NAHODQ]U-

@SQ W PERWOM OKTANTE, ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX

(x y z) = 6x + 4y + 3z:

wY^ISLITX

Z (x2 + 2y) dx + (y2 + 2x) dy

GDE L ; DUGA KRIWOJ

(L)

y = 2 ; x2=8 OT TO^KI A(;4 0) DO TO^KI

B(0 2):

dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE

(sin 2x;

) dx+(;

) dy QWLQET-

x2y

SQ POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNKCI@.

9.	wY^ISLITX	ZZ (y2 + z2) dxdy GDE (S); WERHNQQ STORONA PO-
		(S)
WERHNOSTI z2 = 1 ; x2 OTSE^ENNAQ PLOSKOSTQMI y = 0 y = 1.
10.	wY^ISLITX	ZZ x dydz + y dxdz + (z ; 2) dxdy GDE (S); WNUT-
		(S)

RENNQQ STORONA POWERHNOSTI x2 + y2 = z2 ZAKL@^ENNOJ MEVDU PLOS-

KOSTQMI z = 1 z = 2:	21

zadanie N 13

wARIANT 12

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

F (x y) = x2 + y2

i + x2

+ y2 j

WDOLX OTREZKA PRQMOJ, SOEDINQ@]EJ TO^KI

6):

; 3z

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = x

j + y k WDOLX

DUGI KRIWOJ

L : x = cos t

y = 4 sin t

z = 2 cos t ; 4 sin t + 3

t 2 [0 3 =2]:

S W STORONU

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX

WNE[NEJ NORMALI

5y 11 zg

GDE

^ASTX PLOSKOSTI x

;3y + z = 3

1) A = f1

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

5x)

; 1)

GDE

;

POLNAQ

A = (8yz ;

i + (x

j + (xy ; 2z) k

POWERHNOSTX CILINDRA z2 + y2

= 9

x = 0

x = 4:

GDE

POWERHNOSTX TELA,

A =

;

i + z

j + (x + z)

;

+ y

z = x

z = 0:

OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI

= 2y

+ y

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA

;xy

L ;

A = fx

OKRUVNOSTX

+ y

= 9:

~ ~

x2 + y2 + z2 = 9

A = xz

;

j + y

;

< z = 1:

pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE

+ 2xz

A = 8

; z

<cos

POTENCIALXNYM. w SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI POTENCIAL.

6. pOSTROITX LINII UROWNQ SKALQRNOGO POLQ U(x y) =

y ; 2

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ

U(x y z) = xpy;(z+y)px

W TO^KE Mo(1

;2) W NAPRAWLENII WEKTORA NORMALI K POWERHNOSTI

S :

; y2 + z2

= 4

OBRAZU@]EGO OSTRYJ UGOL S POLOVITELXNYM

NAPRAWLENIEM OSI OZ.

8. nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZ-

MENENIQ TEMPERATURNOGO POLQ

T (x

ln(x2 + y2) + xyz

TO^KAH

M1(1 ;1 2)

M2(0 22;3 5)

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015287 Кб28VAR-1.PDF
#
11.05.2015289 Кб28VAR-10.PDF
#
11.05.2015288 Кб27VAR-11.PDF
#
11.05.2015288 Кб27VAR-12.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-13.PDF
#
11.05.2015288 Кб25VAR-14.PDF
#
11.05.2015287 Кб25VAR-15.PDF
#
11.05.2015289 Кб25VAR-16.PDF
#
11.05.2015275 Кб25VAR-17.PDF