Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-7

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

287.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 7

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU M0(;3 4 7) PARALLELXNO DWUM WEKTORAM ~a1 = f0 1 2g ~a2 = f1 0 1g nAJTI RAS- STOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO \TOJ PLOSKOSTI I OB_EM PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOORDINATNOGO UGLA.

2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ

8	2x + y + z ; 2 = 0
<	2x ; y ; 3z + 6 = 0
:
POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ. oPREDE-
LITX RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ.
3. nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PRQMOJ
8 x = ;t + 2
<	PLOSKOSTX@ x + 2y + 3z ; 14 = 0:
> y = ;t + 3 I	PLOSKOSTX@ x + 2y + 3z ; 14 = 0:

> z = 4t ; 1

sOSTAWITX URAWNENIE PROEKCII DANNOJ PRQMOJ NA PLOSKOSTX

: .

4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A(;3 4 ;7) B(1 5 ;4) C(;5 ;2 0) D(;12 7 ;1):
sOSTAWITX URAWNENIQ GRANI ABC I WYSOTY DH, OPU]ENNOJ NA \TU
GRANX. nAJTI DLINU WYSOTY DH.
5. pOSTROITX POWERHNOSTI
	2	2	= 2(2 y ; 3)	2		2	2
1)	x2	+ z2	= 2(2 y ; 3)		2)	z2 + y		= 3
3)	x2	; y2	; z2 = 1		4)	x = 3 + z
5) x + y			+ z = x + y + z		6)	x y = 2

6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

		z = y2
	a)	2x + 3y = 6
	a)	x = 0
		x = 0
		z = 0

x2 + y2 + z2 = 4z ; 3 b) z = 4(x2 + y2)

z 0

zadanie N 5

wARIANT 7

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

lim

;

lim

; 7x

px2 + 9

n!1 p3

+ 1

;

5n3

0 3

;

+ n2

lim

(5n + 1)

;

(n + 2)

10:

lim

; cos 7x

n!1

;

3n)3

x!0 sin 4x

tg 5x

lim

3n + 4

11:

lim esin 2x ; e

sin x

"3n

;

ln cos px

n2( p3

)

lim

1 + ln x

; 1

lim

5 + n3

;

3 + n3

12:

n!1

x!1

sin x

lim

n! + 7(n + 1)!

13:

lim

sin 2x

n!1 15n!

;

3(n + 1)!

x! 2

; x2

lim

;

2n+1

14:

lim

2x ;

3x;15

3n x

n!1

11 2n;2

+ 4

x!5 "

lim

;

esin 5x

ctg 2

15:

lim

+ 4x

;

x!0

x!1

(2x

1)3

lim

x3 + 6x2 + 12x + 8

16:

xlim

2x2 + 4

x!;2

x + 3x ; 4

42x ; 45

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI

x !

0, ESLI

(x) = 1

cos 4p

(x) = ln(1 + 2x

)

;

(x) = arcsin

+ x)

(x) = 1 ; cos 2x

! x0

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

3: e;2x sin x ; 1

1: px2 ; 8 ; 2

x0 = 4

x0 = 0

x0 = ;1

2: arctg p3x

x0 = 0

qln(x

+ 9x + 9)

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

1: y =

sin x

x =2

cos x

=2 < x < 2

;

3: y = >

> ln(x + 1 ; 2 )

x 2

2: y = 3 + 6

x+5

zadanie N 6

wARIANT 7

pROIZWODNYE

1. nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

y =

+ 5x

;

(5x

; 1)

y = arctg

ctg

+ (ln 3)

y = ch5 2p

; 1! x3n

ln4 tg x

y = p

sin3 2x

y = (sin 2x)arcsin3x

8 x =

; t23

11)

1 + 2t

< y =

;

1 + 2t3

13)

xy ; y 2;

= q(x ; y)

2. nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00

y =

1 + tg2x

1 ; tg 8x

arcsinx

; ln p1 ; x2

y = p1

;

y = ln ex + 2pe2x + ex

y = ln

(x2

; 1)(x + 3)2

; 2)earctg x

10) y = (ln xt)4x ; 3

12) 8 x = t2

3t2

< y = e;

14)

: yx!2

; x p

= arcsin3x

FUNKCII

y = cos

1=x2

2) 8 x = t23; t

< y = ln t

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

1) y = x +

= 0

x + e

2) 8 x = 2 ln ctg t + 1

to =

< y = tg t + ctg t

4. nAJTI PERWYJ dy I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

1) y = sin(x2 + 1) + cos2 x

2) y =

3x + 1

2x2 + 4

dOKAZATX

^TO FUNKCIQ

y = (2x ; 1)e;

UDOWLETWORQET URAWNENI@

y00 ; 4y = ;8e;

t = to

3) y = 3 p3 x2 ; 2x

zadanie N 7

wARIANT 7

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

1) y = x +	1	2) y = (x2 ; 4x + 3) ex ; 1
	x2

3) y = ln[(x2 ; 1)2]

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

1)	y = x2	; 1	2)	y = x + ln x
	x2	+ 1		x

3) y = ex x

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

1)	y =	(x ; 1)2	2) y = x2			e1=x
		x2

4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK- CII W TO^KE S ABSCISSOJ x = xo, ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@ PARAMETRA

		1	+ p
		1	+ p		x
1)	y =	1	;	px		x0 = 4
			;
2)	8 x = arcsin(1 ; t)					t0 = 0

	< y = arccos t
5.	:
5.	oKNO IMEET FORMU PRQMOUGOLXNIKA, ZAKAN^IWA@]EGOSQ POLUKRU-

GOM. PERIMETR FIGURY RAWEN 15 M. pRI KAKOM RADIUSE POLUKRUGA OKNO BUDET PROPUSKATX NAIBOLX[EE KOLI^ESTWO SWETA.

6.	nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII
		y = 2 sin x + sin 2x W INTERWALE		[0 3 =2]
7.	iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY
1)	lim x ctg x ; 1		2) lim (1 + ex)x1	3) lim x3	; 6x + 6 sin x
	x!0	x2	x!1	x!0	x5

zadanie

N 8

fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

wARIANT 7

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

z =

2) z = 2 ln2(x2 ; 5y + 10)

x ; y

x + 2y

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

FUNKCIJ

z = tg2(3x + 2 ln y)

z =

ctg

xln y

cos(y2 ; 1) ;

; 1

z = ln(px ; y + q1 + y) ; arctg

z = arcsinx3

;

3. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx0

I zy0

SLOVNOJ FUNKCII

z = sin u cos u

GDE

u = tgx

v = y;4x

4. nAJTI PROIZWODNU@

zt0 ,

ESLI

z = 5px2;6y+7

GDE

x = ln2 t

y = t3 ; t2 ; 6

5. nAJTI PROIZWODNYE

dz ,

ESLI

z = (tg x)sin 5y

GDE

y =

1 ; x

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0 NEQWNOJ FUNKCII y(x), ZADANNOJ WYRAVE-

NIEM

2) y p

1) qln x + ln y ; xy3 + 3 ln 5 = 0

+ 1y = (x + 7y)3

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

ZADANNOJ WYRAVENIEM

(x + y ; 3 cos z) = arctg z2 ;

;

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z DIFFERENCIALY FUNKCII z =

x+4y

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-

NOSTI

3xyz ; z

= a

W TO^KE

M0(0 a z0)

10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@ z = 2x3 + 2y3 ; 6xy + 5

11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

z = xy (x + y + 1) W ZAMKNUTOJ OBLASTI D : f1 x 2

0 y 1=xg

zadanie N 9

wARIANT 7

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

2 ; p

tg x

cos2 x

1=x

x2dx

sin 2x dx

cos2 x

x+1

;;

10x

; x8

11:

ln x dx

13:

x xsin 2x

cos3 2x

15:

arcsin5x dx

17:

; x ;

19:

(5x

;

3)dx

x2 ;

4x ; 12

21: Z

(3 + x) dx

(x + 2)

(x2 + x + 4)

23: Z

6x3

+ 9x2

25:

px dx

px + px2

27:

6 ; x

;

29:

9 + x

31:

8 ; 4 sin x + 9 cos x

33:

sin 3x

cos 2x dx

35:

sin8 x

37:

1 ; e2x

sin(ln x) dx

4: Z

(a ; b)dxx2 + (a + b)

(1 + x2) arctg x

x dx

16x4

+ 9

10:

;

+ 8

12:

arctg

x dx

p1 + x2

14:

(x2

; 7) 7;x dx

16:

e3x

cos 2x dx

18:

4x2

+ 6x

; 7

(3x + 5)dx

20:

2x2 + 8x

+ 1

22: Z

+ 4x

;

24:

x2 ; 1 dx

26:

(x + 1)

;

px2

28:

1 + px

30: Z

; 1 dx

x2 px2

32:

+ 5 cos2 x

34:

pcos2 x sin3 x dx

36:

tg4 x dx

arcsinx

38:

px + 1 dx

zadanie N 10

wARIANT 7

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

x3 dx

px2

x8 +1

x ln2 x dx

x dx

ctg3x dx

x4 1

1 + x

;

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

1) y =

[0 =4]

y = ex + e;x

[ln 2 ln 3]

3 sin x + cos x

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

1) Z1 p

2) Z

1 + 0 5 sin2 x

1 + x4

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

x2 dx

x2(1+x)

;

4 sin 2x) dx

;x3 + px

;

cos x

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

y = sin( x=2)

x = 1

; cos t

3) = 2 sin2 '

= x2:

y = t ; sin t

y = ( x)=2:

nAJTI OB_<M TELA

OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY

OGRANI^EN

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI: 1){ WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY:

y = px ;

x = 1=2:

+ y2

= 1: :

y = 0

y = 1

. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH

1) L :

y = ln(x2 ; 1)

2) L :

= 3 e'=3

2 x 3:

;1=2 ' 1=2:

. gORIZONTALXNYJ CILINDRI^ESKIJ BAK DLINOJ 2 M I RADIUSOM OS-

NOWANIQ 0 5 M

ZAPOLNEN WODOJ. nAJTI MINIMALXNU@ RABOTU, KOTORU@ NEOBHODIMO ZATRATITX, ^TOBY WYKA^ATX WODU IZ BAKA.

zadanie N 11								wARIANT 7
				kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE					Z Z f(x y) dx dy PEREJTI K POWTORNOMU I
					(D)
RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ
LINIQMI:
	1) x2 + y2 = 1				x + y = 1 (x > 0 y > 0):
	2) x2		; y2 = 9 5y = 4x y = 0 (x > 0 y > 0):
2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE
;1	0				0	0
J = Z	dy Z			f(x y) dx + Z dy		Z		f(x y) dx:
;2	;p	2+y			;1	;p	;y

3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX

Z Z (2 + x ; y) dx dy D : f1 x2 + y2 16 x=p3 y xp3g:

(D)

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

1) 2y = px 2xy = 1 x = 16:

2) x = y2 x = 3 y 0:
5. wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D), PRI ZA-
DANNOJ
POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI (x y)
1) D : fx2	; 1 y 1 ; xg (x y) = 2x + 5y + 8:
2) D : fx2	+ y2 4x x2 + y2 4yg (x y) = xy:
6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z f(x y z) dx dy dz
	(V )
W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI
(V),
OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:
1) z = x2 + y2 5x + y = 5 x = 0 y = 0 z = 0:


2) x2 + y2 = 2y x2 + y2 = 4y z = 0 z = 2 x								0:
7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:
	z = p				9z = 2x2 + 2y2 z > 0:
1)			9 ; x2 ; y2
2)	y2 = 2x z = 2 ; x						z = 0:
8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX
	V : fq			z q
		x2 + y2				9	; x2 ; y2 x 0g
ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX 20 (x y z) = x.

zadanie N 12

wARIANT 7

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL

(1 + y) dl

GDE L ;

(L)

DUGA LINII x2 + y2 = 6x

x 0

y 0:

nAJTI ORDINATU y CENTRA TQVESTI DUGI ODNORODNOJ KRIWOJ

y = 2 px ZAKL@^ENNOJ MEVDU TO^KAMI

M1(1 2)

M2(4 4):

x 0

y 0

nAJTI MASSU DUGI \LLIPSA 9 + y2 = 4

ESLI

LINEJNAQ PLOTNOSTX

(x y) = x:

nAJTI PLO]ADX ^ASTI CILINDRI^ESKOJ POWERHNOSTI

z2 = 4x

WYREZANNOJ CILINDROM

y2 = 4x

I PLOSKOSTX@ x = 1:

wY^ISLITX

ZZ (x2 + y2) d

(S)

GDE (S);

^ASTX POWERHNOSTI

x2 + y2

= 2z

MEVDU PLOSKOSTQMI

z = 0 z = 1:

nAJTI CENTR TQVESTI SEGMENTA [ARA

x2+y2+z2 = 4

1 z

ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX (x y z) = const:

wY^ISLITX

(xy ; y2) dx + x dy

GDE L ; DUGA PARABOLY

(L)

y = 2x2 OT TO^KI O(0 0) DO TO^KI A(1 2).

dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE 4p

(y dx + x dy)

QWLQETSQ POLNYM

x y

DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNKCI@.

wY^ISLITX

4 x2 + y2 dxdy GDE (S); NIVNQQ STORONA PLOS-

(S)

KOSTI KRUGA

x2 + y2 4

z = 2.

10. wY^ISLITX

(y ; z) dydz + (z ; x) dxdz + (x ; y) dxdy

GDE

(S)

(S); WNE[NQQ STORONA POWERHNOSTI x2 + y2 = z2

0 z 1

zadanie N 13

wARIANT 7

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

F (x y) = cos

i + y3

WDOLX

DUGI PLOSKOJ KRIWOJ

L :

y = tg x ZAKL@^ENNOJ MEVDU TO^KAMI

( =4 1) I ( =3

p3):

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

; 2)

F = (x

i + (y

+ x) j + 2z

WDOLX OTREZKA PRQMOJ AB

A(0 1 2)

B(3 4 7):

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

4zg GDE S

;

1) A = f;2x

^ASTX PLOSKOSTI 2x+6y+3z = 6

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

+ (y

GDE

POLNAQ

A = (pz

;

i + (x

;

+ y

z = 0:

POWERHNOSTX PARABOLOIDA

= z + 1

GDE

S; POLNAQ POWERHNOSTX TELA,

A = 4x i ; 2y

; z k

OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI

3x + 2y = 12

3x + y = 6

x + y + z = 6 = 0 y = 0 z = 0:

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA L

L ; x

1) A = f(y ; x ) (2x + y

+ z

= R

y = x:

1 = 2(x2 + y2)

A = 4x

i + 2

;

k L

;

= 4

(z > 0):

< x

+ y

5. pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE :

f2x sin y ; y sin x

cos y

; z + cos x

;yg

POTENCIALXNYM. w

A =

SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI EGO POTENCIAL.

6. pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ

U(x y z) = y2 + z2 ; 2x:

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ

U(x y z) = xpy ; yz

W TO^KE Mo(2

;1) W NAPRAWLENII WEKTORA NORMALI K POWERHNOSTI

S :

x2 + y2

= 4z

OBRAZU@]EGO OSTRYJ UGOL S POLOVITELXNYM

NAPRAWLENIEM OSI OZ.

8. nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZ-

MENENIQ TEMPERATURNOGO POLQ		T(x y z) = ln(3	; x2) + xy2z W
TO^KAH M1(1 3 2) I M2(p	2	2 0)
		22

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015286.33 Кб25VAR-26.PDF
#
11.05.2015286.92 Кб24VAR-3.PDF
#
11.05.2015288.96 Кб25VAR-4.PDF
#
11.05.2015289.35 Кб24VAR-5.PDF
#
11.05.2015286.89 Кб25VAR-6.PDF
#
11.05.2015287.28 Кб24VAR-7.PDF
#
11.05.2015286.91 Кб24VAR-8.PDF
#
11.05.2015287.4 Кб24VAR-9.PDF