Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-6

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

286.89 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 6

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE TO^KI

M1(0 ;4 ;2) M2(;9 4 ;3) PARALLELXNO WEKTORU ~a = f3 ;5 ;6g nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO \TOJ PLOSKOSTI I OB_EM

PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOORDINATNOGO UGLA.

2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ
8 2x + y + z		; 11 = 0
< x +	2y + 1 = 0
:
POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ. oPREDE-
LITX RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ.
3. nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PRQMOJ
x +	1 = y	= z ; 2
1	2	3

I PLOSKOSTX@, PROHODQ]EJ ^EREZ TRI TO^KI

A1(1 5 ;7) A2(;3 6 3) I A3(;2 7 3): sOSTAWITX URAWNENIE PROEKCII DANNOJ PRQMOJ NA PLOSKOSTX.

4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A(1 2 0) B(1 ;1 2) C(0 1 ;1) D(2 ;1 4):

COSTAWITX URAWNENIQ GRANI BCD I WYSOTY AH, OPU]ENNOJ NA \TU

GRANX. nAJTI DLINU WYSOTY AH.

5. pOSTROITX POWERHNOSTI

x2 = y2 + z2

x = (y2 + z2)

= 6x

; 4

2 ;2

; 2x = 0

x + y

x2 + y2

+ z2 + 2z = 0

x ; 2 = p

y ; z2

6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

z = 16

; x2

; y2

x2 + y2

;

a) x + y = 4

x 0 y 0 z 0

x + y

= 1:

zadanie N 5

wARIANT 6

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

+ 5

lim

;

p3n

n!1

p5 n5

+ 1

;

nlim

3n2

+ 1

;

3n + 3

nlim

21 + 3 + n

+1(2n ; 1)

; n3

;

lim

4pn2

;

3n + 5

;

pn2

+ 2n5

n!1

lim

(n + 1)! ; n!

n ;2

1)! + (n + 1)!

lim

2 ;

; 5 ;

n!1 2n

+ 5n;1

lim

;

tg 3x

cos x

x! =2

xlim

;

x4 + 4

2x2

;

lim x3 ; x2 + x ; 1

x!1

x3 ; 1

10:

lim

x + 3

; 2

1 p

3x + 6

ln(1 + p

sin;

5x)

11:

lim

3p7x

x!0

12:

lim

(x ; )2 sin x

(1 + cos x)

13:

lim

ln sin 5x

cos 5x

=2 1

;

14:

lim

2x ; 1

x!1

2x + 3

15:

lim e2x

; e3x

x!0

sin 4x

16:

lim

1 +

2x + 9!

x!1

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI

x ! 0, ESLI

(x) = 1

;

cos x + tg2x

(x) = x3

;

(x) = ln(1 + x sin x)

(x) = pcosx ; 1

x ! x0

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

; 1

ln(2 ; cos x)

x0 = 0

x ; 3

x0 = 3

x2 + 2x

tg x ; sin x

x0 = 0

x0 = ;2

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

1: y =

8 ex + 3 x < 0

x2 ; 4x + 3

x < 2

3: y = >

3x + 1 0

2: y = 3

1+2x

11 ; x

x 2

zadanie N 6

wARIANT 6

pROIZWODNYE

1. nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

y =

;

; q(2x

+ 1)

y = ln arcsinex ; tg3 ln x

y = e;x2 + ln(x2 + 1)

cos 5x2

y = arccos x

;

arccos x

y =

px ; x5

;

8 x =

+ 1

11)

< y =

t + 1y!

13) :5;

;

= ln x + py

2. nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00

y = arctg1 ; 2x

1 + 2x

sin ln x

; ctg

y = 4

sx + 1

y = 2 ln(2x ; p

)

1 ; x2

y = ln 2(1 + 5x )4

10) y = (14+ sh

1 )2x3;3

;

12) 8 x = tg t

< y = sin 2t + 2 cos 2t

14)

y2 ln 3x = sin 2x + arctg 6y

FUNKCII

= et;t3

1) y = (x

;

1)2

ep(x+1)

2) 8

< y

= t + t

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

1) y = (3 ; x2) ln x

x0 = 2

8 x = r

1 ; pt

2) >

1 ; p

t0 = 0

> y =

4. nAJTI PERWYJ dy:I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

y = cth2x

2) y = (ln 3)p

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ

y = 2 sin(x=3) + e;2x

UDOWLETWORQET URAWNENI@ 9y00 + y = 37e;2x

zadanie N 7

wARIANT 6

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1.	iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII
	x4
		2) y = p8x2 ; x4
	1) y = x3 + 4
2.	3)	y = x e2x ; 1
	sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

1)y = ln x ; 1 x + 1

3)y =

2)	y =	1 ; x3
		x3

e8x ; x2 ; 14

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

1) y =	(x + 2)2					2) y = x2 ; 2 ln x
	(x ; 1)2
			3) y = x2=3 e;x
4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK-
CII W TO^KE S ABSCISSOJ			x = xo,		ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@
PARAMETRA t = to
1)	y =		4x ; x2				x0 = 2
			4
2)	8	x = 3t(t2 + 1)					t0 = 2
			2		2	)
	< y = 3t			(1 ; t

5.	:
	sOSUD, SOSTOQ]IJ IZ CILINDRA, ZAKAN^IWA@]EGOSQ SNIZU POLUSFE-

ROJ, DOLVEN WME]ATX 18 L WODY. nAJTI RAZMERY SOSUDA, PRI KOTORYH NA EGO IZGOTOW- LENIE POJDET NAIMENX[EE KOLI^ESTWO MATERIALA.

nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

[1=p3 p3]

y = arctgx ; 2 ln x

W INTERWALE

7. iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY

lim

2x ; ln(1 + 2x)

lim (3

x)tg x4a

3) lim

x!0

x!2a

; a

x!1 cos

ln(1 ; x)

zadanie

N 8

fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

wARIANT 6

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

1) z = q4 ; 9x2 ; 16y2

2) z = qx ; y2 ; q

y2 + 2x ; 6

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

FUNKCIJ

1) z = (cos(y2 + 4))3

;

y2 ln p

z = (y + 3)3

ln2 x

;

x + 5

arcsin(x

)

arctg (x=y)

z = ln cos 3x ey

; x

3): z =

px y2

tg(xy)

; sin p

3. nAJTI ^ASTNYE;PROIZWODNYE zx0 I zy0 SLOVNOJ FUNKCII

z = p

ln2

u = x 4y

v = arctgpxy

GDE

4. nAJTI PROIZWODNU@

zt0 ,

ESLI

tg t

z = qarccos(x + 3y)

GDE

x = 3t

y =

5. nAJTI PROIZWODNYE

dz ,

ESLI

cos y

z =

sin x

GDE

y = arcsinp

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0

NEQWNOJ FUNKCII y(x), ZADANNOJ WYRAVE-

NIEM

sin yx + cosyx = 2

1) x y ; ex+y + 3y2 = 0

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

ZADANNOJ WYRAVENIEM

z ln(x2 + z) = p

+ ln(y3 ; 4x)

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z DIFFERENCIALY FUNKCII z = (x5 ; py)3

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-

NOSTI z = 3x2 ; 2xy + 3y2 + 4x + 4y ; 4	W TO^KE M0(2 ;2 z0)
10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@	z = x3 ; 2x2y2 + y4

11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII z = x3 + 8y3 ; 6xy + 1 W ZAMKNUTOJ OBLASTI

D : f;1 y 1 0 x 2g

zadanie N 9

wARIANT 6

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

11:

13:

15:

17:

19:

21:

23:

25:

27:

29:

31:

33:

35:

37:

(5x

;

2)5=2

3x2 ;

cos2(5x

;

=4)

3 + x

px2+1

x2 + 1

arctg2 x dx

x e;3x dx

e2x cos 3x dx

; x ; x2

(7x

;

4) dx

(2x2;+ 1) dx

+ x2 + 2x

+ 2

(3x2

+ 2x ; 1) dx

1)2

(x + 2)

;

x + px + px2

x(1 + px)

; 31 + 1) dx

+ 1)

(2x7

;

2x ; 1

;

3 ;

2 cos2 x + 7 sin2 x

Z (1 ; sin 3x)2 dx

cos x

cos2 3x dx

cos

x dx

2: Z (1 ; x)2

(1 ; 3x) dx

a2x

;

+ 1

x5 + 5x

;

8: Z

x3 p4x4 ; 3 dx

10:

sin3 2x cos 2x dx

12:

x2 sin 5x dx

14:

(x2

; x + 1) ln x dx

arcsinx dx

16:

p1 + x

18:

3x + 3

(x;+ 5) dx

20: Z

3x2

+ 6x + 1

22:

x4 + 27x

24: Z

x4 + 5x2 + 4

x3 dx

26:

x + 1

1 + p

28:

q p

30:

(1 + x2)5

32:

5 ;

4 cos x

34:

tg3

36:

sin x

cos5 x

38:

; ex) dx

1 + 4e2x

zadanie N 10

wARIANT 6

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

1+ln x

1=2

x2 sin 4x dx

;

x2)3

;1=2 q

sin x sin 3x dx

+ 1

(x + 1)(x

;

2x + 1

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

y = ln(x + 1)

y = cos5 x sin x

[0 =2]

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

x6 dx

1) Z

2) Z

10 + 3 cos x

x + 1

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

1) Z

2x2 2x+1

;

1=2

;

1=2

ln(1 + px)

x + sin2 x

etg x 1

;

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

y = x2

x = 2 cos t

y = p

= 2(1 + cos '): :

y = 2 sin t

y = 1:

. nAJTI OB_<M TELA, OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY, OGRANI^EN-

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI: 1) { WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY:

y2 = x

0 y

2x + 2y ; 3 = 0:

y = x3 ;

2y = x2

. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH:

= ln(5=2x)

x =

3 t

1) L :

2) L :

; t3 0 t 1:

= t

kAPLQ S NA^ALXNOJ MASSOJ M PADAQ POD DEJSTWIEM SILY TQVESTI

ISPARQETSQ, TERQQ EVESEKUNDNO MASSU m: nAJTI RABOTU SILY TQVES- TI ZA WREMQ OT NA^ALA PADENIQ DO POLNOGO ISPARENIQ KAPLI.

(x y)

zadanie N 11	wARIANT 6
kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE Z Z f(x y) dx dy	PEREJTI K POWTORNOMU I
(D)

RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ

LINIQMI:

1) y = 2x y = 2x + 3 x = 1 x = 2:

2)x = 27 ; y2 x = ;6y:

2.iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE

J = Z1 dx	Z12	f(x y) dy + Ze dx Z1				f(x y) dy:
0	1;x	1			ln x
3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX
	Z Z	q		dx dy		D : fx2 + y2 Ryg:
	Z Z	q	x2 + y2	dx dy		D : fx2 + y2 Ryg:
	(D)

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ

LINIQMI
1)	y = ln x y = 0 x = 1 x = e:
2)	xy = 1 x + y = 5:

5. wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D), PRI ZA- DANNOJ

POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI

1) D : f2x y	2 ; x x = 0g (x y) = 2 ; x + y:
2) D : fx2 + y2	1 y 0g			(x y) = x2 + 3y:
6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z f(x y z) dx dy dz
			(V )
W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI
(V),
OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:
1) z = x2 x + y = 2 y				0 z 0:
2) z = p			z = 0 x2 + y2 = 2x:
		x2 + y2
7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:
1) z = 3x2 + 3y2 + 1 z = 5 ; 3x2				; 3y2:
2) 2x + 3y = 12 z = y2=2 x 0 y 0 z 0:
8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX

V : fx=8 + y=3 + z=5 1 x 0 y 0 z 0g
ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX	(x y z) = (1 + x=8 + y=3 + z=5);6	:
20

zadanie N 12

wARIANT 6

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

cos2 x

wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL

1 + cos2 x

(L)

GDE L ; DUGA LINII y = sin x MEVDU TO^KAMI A(0 0) I B( 0).

nAJTI CENTR TQVESTI ARKI CIKLOIDY

8 x = 2(t

; sin t)

< y = 2(1

; cos t)

GDE t

2 ]

(x y z) = const:

ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX

nAJTI MASSU DUGI OKRUVNOSTI x2 + y2

= 4

ZAKL@^ENNOJ

MEVDU TO^KAMI M1(;1 p3) I M2(2 0)

ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX

(x y) = x2:

nAJTI KOORDINATY CENTRA TQVESTI ODNORODNOJ POWERHNOSTI

x2 + y2 = z

0 z 4:

wY^ISLITX

1 + z2

(S)

GDE (S); POWERHNOSTX CILINDRA x2 + y2 = 1

MEVDU PLOSKOSTQMI

z = 0 z = 1:

nAJTI MASSU ^ASTI KONI^ESKOJ POWERHNOSTI

y2+z2 = x2 2 x 5 ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX (x y z) = y3:

		Z		y	y2	;
7.	wY^ISLITX		y2	+ 1 dx +	2y2 ; x dy GDE L		PRQMAQ AB	OT
		(L)
TO^KI A(1 2) DO TO^KI B(2 4).
8.	dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE (2=x2 +cos2 y) dx+(y;x sin 2y) dy							QW-
LQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNK-
CI@.
9.	wY^ISLITX		ZZ y3dxdz		GDE (S); WNUTRENNQQ ^ASTX POWERH-
			(S)
NOSTI x2 + y2 + z2 = 1 0 z 1.
10. wY^ISLITX			ZZ ;x dydz + z dxdz + 5 dxdy			GDE (S); WERHNQQ
		(S)

STORONA LEVA]EJ W PERWOM OKTANTE ^ASTI PLOSKOSTI 2x + 3y + z = 6:

zadanie N 13

wARIANT 6

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

WDOLX

F (x y) = cos

i + y

DUGI PLOSKOJ KRIWOJ

L :

y = sin x ZAKL@^ENNOJ MEVDU TO^KAMI

(0 0) I ( =2 1):

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = 2z

; x j + y

k WDOLX

DUGI KRIWOJ

L : x = 3 cos t

y = 3 sin t

z = 1

t 2 [0 =4]:

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

2zg

GDE

^ASTX PLOSKOSTI

x + y + z = 1

A = fx

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

A = (6x ; cos y) i + (e

+ z) j + (2y +23z)

GDE

POLNAQ

POWERHNOSTX CILINDRA

+ y

= 4

z = 0

z = 3:

GDE

POLNAQ POWERHNOSTX TELA, OGRANI-

A = 3x

;

(z 0):

^ENNOGO POWERHNOSTQMI

z = 6 ; x

; y

= x

+ y

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA L

KONTUR

OAB 0(0 0) A(1 0) B(0 1):

A =

x +x

;

+ xz

+ y

x + y

+ z

= 16

2) A = 2yz

;

= 4 (z > 0):

< x + y

pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE

z2 + 4z)

A = (x y ; z

POTENCIALXNYM. w SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI POTENCIAL.

6. pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ

U(x y z) = x2 + z2 ; 2x:

z) = xz2

; p

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ

U(x y

x3y

W TO^KE Mo(2

4) W NAPRAWLENII WEKTORA NORMALI K POWERHNOSTI

S :

; y2

;

3z + 12 = 0

OBRAZU@]EGO OSTRYJ UGOL S POLOVITELX-

NYM NAPRAWLENIEM OSI OZ.

8. w TO^KE M0(p

1=p

3) NAJTI UGOL MEVDU WEKTORAMI { GRA-

DIENTAMI SKALQRNYH POLEJ

U(x y z) =

V (x y z) = x2 ; y2 ; 3z2

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015286.27 Кб24VAR-25.PDF
#
11.05.2015286.33 Кб25VAR-26.PDF
#
11.05.2015286.92 Кб24VAR-3.PDF
#
11.05.2015288.96 Кб25VAR-4.PDF
#
11.05.2015289.35 Кб24VAR-5.PDF
#
11.05.2015286.89 Кб25VAR-6.PDF
#
11.05.2015287.28 Кб24VAR-7.PDF
#
11.05.2015286.91 Кб24VAR-8.PDF
#
11.05.2015287.4 Кб24VAR-9.PDF