Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-5

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

289.35 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 5

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE TO^KI M1(3 ;2 ;4) M2(1 8 ;5) PERPENDIKULQRNO PLOSKOSTI

4x + 6y + 4z ; 1 = 0 nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO \TOJ PLOSKOSTI I OB_EM PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOORDINAT- NOGO UGLA.

2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ
		8 x ; y + 2z ; 20 = 0
		<	2x + y ; 2z ; 1 = 0
		:
POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ. oPREDE-
LITX RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ.
3. nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PRQMOJ
x ; 1	= y	= z + 1	I PLOSKOSTX@ 3x	;	y + 4z	;	2 = 0:
2	1	0		;		;

sOSTAWITX URAWNENIE PROEKCII PRQMOJ NA DANNU@ PLOSKOSTX.

4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A(;2 2 ;1) B(0 3 2) C(3 1 ;4) D(;4 7 3):

COSTAWITX URAWNENIQ GRANI ABD I WYSOTY CH, OPU]ENNOJ NA \TU

GRANX. nAJTI DLINU \TOJ WYSOTY.

5. pOSTROITX POWERHNOSTI

1) x2 + y2 = 6z + 3

2) x2 + x + y2 = 1

4) x2 = 4 + z

4 ; 9 ; z2 = 0

5) x2

+ y2

+ z2 = 8y ; 12

6) x = 1 ; p

y ; z2

6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

z = y

y = p

162

; x22 ; y2 = 4z

4 ; x

y = x ; 1

b) x + y = 4

= 0

zadanie N 5

wARIANT 5

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

; p

lim

n + 2

n2 + 2

n!1 p5n3 + 3

p7n2

;;(n

;

lim

(n + 2)

2);

n!1

(n + 5)2

+ (n

;

5)2

"33nn +; 11#n

3: nlim!1

lim

n2 + 2n

;

+ 4

n!1

lim

3(n + 2)!

; 5n!

n!1 5(n + 2)!

lim

5n + 3

4n;4

n!1 5n;1 ;

lim

8x5 + 3x

;

x!1 2 ; 4x ;

7x4

lim

; 2x

;

x!3 x3

; 4x2 + 9

lim 2 ; p

; 2

x!6

10:

lim

tg;5x

x!0 x arctg

11:

lim ln(1 +

)

sin (

12:

lim

(x3

;

3) sin 5x

; 1

esin

13:

lim

; 2 cos x

;

x!3

14:

lim

2x ; 3

x;3

cosec2x

15:

lim

; cos x

x!0

5x2

16:

xlim

;

3x2 1

@2 ; 3x

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI

x ! 0, ESLI

(x) = 2x + sin x

(x) = x2 ; 2x

(x) = p

1 + x ; x2

; 1

(x) = x=2 + sin x

x ! x0

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

1: 3x arcsin px5

x0 = 0

3: e

; x + 2 ; e

x0 = 2

4: q

; 1

2: ln(1 + x2 sin3 2x)

x0 = 0

1 + ln3 x

x0 = 1

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

y = p

1 ; x2

x + 1

3: y = 8 x2

x < 0

;

2: y = 1 + 5x

3 ; x x > 3

1 ; 5x

zadanie

N 6

wARIANT 5

pROIZWODNYE

nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

;

y = sx +

+ px2 + 1

y = arctg

cos

;

y = 2ln(x2 + x + 1)

; 1

tg 3x

y =

ln2(x2 ; px)

; x4

+ 8x

y = q

arccos(5x ; 1)

y = 15 th

+ x3sh

ln cos(5x ; 1)

x + 7


7)		5 (1	;		x)3	ctg 3x
7)	y = ln v		;
		u		4 sin4		2x
		t		1;x
9)				1;x
9)	y = (2x + 5)1+2x
11)	8	x = 3 cos t
11)	8		3
	< y = 4 sin t

13) :ln(2y + x3) ; pxy = 2 ; 5xy

8) y =

ln3 x5

e;x

arcsin2px

10) y =

12)

x = ctg (2et)

)

< y = ln(tg e

; tg

3 x

= e;

;

14)

arcsiny

nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00

FUNKCII

1) y = e;2x cos 2x

2) 8

x = 2t

;

< y = t

+ sin 2t

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

3 x

1) y = ln v

;

xo = 2

;

ux + 1

2) 8 x = p

; t2

to = 0

< y = arcsin(t ; 1)

4. nAJTI PERWYJ dy I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

1;x

(2x ; 1)

1) y = 21+x

y = x

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ y = 3

; 2x + e3x

UDOWLETWORQET URAWNENI@

y000

; 3y00 = 0

t = to

zadanie N 7

wARIANT 5

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

1) y =

3x ; x

2) y = x px ; 1

y = 3

+ x

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

ln x

1) y = px3 ; 3x

2) y = p

y =

x(x ; 4)

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

1) y =

(xx; 1)2 2

2) y = x e;x2=2

;

x + 1

y = ln x + 2

4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK- CII W TO^KE S ABSCISSOJ x = xo, ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@ PARAMETRA

		1)	y = e2x ; x2		xo = 0
		2)	8 x = cos(t=2)		t0 = =2
			< y = t ; sin t
5	.		:
	.	nAJTI DLINY STORON PRQMOUGOLXNIKA NAIBOLX[EGO PERIMETRA,
WPISANNOGO W POLUOKRUVNOSTX RADIUSA R.
6.		nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII
		y = ;2x(2x + 3)		W INTERWALE [		;	2 1]
		x2 + 4x + 5				;

7. iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY

	2	)	2) lim(e2x + x)x
1) lim arctg x ; ln(1 + x		)	2) lim(e2x + x)x
			1
x!0	3x		x!0

3) lim (xn		e;x)
x!1

zadanie

N 8

fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

wARIANT 5

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

z =

pxx2 ;

3yy

z = ln(16 ; x2 ; y2) + ln(x2 + y2 ; 9)

;

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

FUNKCIJ

z = arctg2 x + 2y

2ctg p

)

z = y

;

3 ; y

;

z = ln

p3 y

+ e

sin(x

5y)

z = 4

y=x +

;

arcsinx

0px ;

3. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx

I zy

SLOVNOJ FUNKCII

z =

sin(3u)

GDE u = p

v = ln(y + 2x)

(v + 3u)2

y ; 2

4. nAJTI PROIZWODNU@

zt0 ,

ESLI

z = x2y ; (3y);x

GDE

x =

y = ln(t2 + 1)

2 ; t3

5. nAJTI PROIZWODNYE

ESLI

z =

GDE

y = x ln2 x

arctg (x2 ; y2)

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0

NEQWNOJ FUNKCII, ZADANNOJ WYRAVENIEM

cos 2y

;

4;x = (x

;

y)2

3y + pxy + ln2 y = sin x ; x

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z

NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

ZADANNOJ WYRAVENIEM

arccos(yz + x2) = y5 ; 3 sin

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z DIFFERENCIALY FUNKCII z = tg (x ; 2y)

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-

	2	+ 12xy + 3y	2	+ 6x ; 6y + 3				M0(2 0 z0)
NOSTI	z = 3x				W TO^KE

10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@					z = xp		; x2 + 6x ; y + 3
						y

11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII z = x2 ; y2 W ZAMKNUTOJ OBLASTI D : fx2 + y2 1g

zadanie N 9

wARIANT 5

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

11:

13:

15:

17:

19:

21:

23:

25:

27:

29:

31:

33:

35:

37:

x4 dx

x10

;

Z x2 (1 + 5x3);6 dx

Z tg2 3x dx

p5x

(a ; b) x2 ;

(a + b)

1 ; x

arcsinp

(2x + 3) cos 4x dx

x dx

cos2 x

;

(x + 1) dx

4x2

12x

+ 3

;dx

x4 + 2x2 + 2x3

px5

+ p

1 + x3

Z p

9 ; x2

sin x cos 2x sin 3x dx

2 ;5

3 sin x

+ cos x

sin

x dx

pcos7 x

ex ; 1

cos 2x dx

p3 sin 2x

;

x2 + 5

epx;1

;

1)3

x px

10:

x2 ln3 x

12:

(x + 1) 3

ln x dx

14:

16:

x2 + a2

18:

9x2

+ 6x

+ 3

(2x

3) dx

20:

p1 +;x

22:

dx;

(16 + x2)

24:

2x2

;

; 12

x (x ; 2) (x + 3)

x dx

26:

2x ; 3

28: Z

(1 + p

30:

x2 dx

(x2 + 1)5

32:

x dx

34:

4 sin2 x

;

7 cos2 x

36:

cos6 x

38:

epx dx

zadanie N 10

wARIANT 5

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

x2 e;x=2 dx

3x+25

)

(9+x

10 q

;ln 2

(x2 + 3) dx

sin3 2x dx

pex ; 1 dx

; ;

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

y = arctg x

p3]

y =

[1 3]

+ 3x ; 1

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

x dx

2) Z

;

2 cos x

(x2 + 1)3

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

3=2

x(ln x

;

x4 dx

(3x5 + x4 + 3)8

arctg3x

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

y = 6x2

; x4

= p

x = 2 sin 2t

y = 2 sin t

2 sin 2': :

y = 1 (x > 0):

t 2 [0 =2]:

nAJTI OB_<M TELA

OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY

OGRANI^EN

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI: 1) { WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY:

y = p1

;

y2 + x ; 4 = 0

1) y = x

y = 0 (x > 0 y > 0):

y = x

; 2:

wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH

x = 5 cos2 t

1) L :

y = ; ln cos x

2) L :

nAJTI

0 x =6:

y = 5 sin2 t

0 t =2:

SILU DAWLENIQ WODY NA WERTIKALXNU@ ZASLONKU W FORME

\LLIPSA S POLUOSQMI a I b CENTR KOTOROJ POGRUVEN W WODU NA GLU- BINU 2b.

zadanie N 11

wARIANT 5

kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE

Z Z f(x y) dx dy PEREJTI K POWTORNOMU I

(D)

RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ

LINIQMI:

1) x2 + y2 = 2

x2 = y (y > 0):

2) x + y = 2

1 x = 0 y = 0:

2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE

2;y

J = Z dy

Z f(x y) dx + Z dy

f(x y) dx:

3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX

Z Z

arctg xy dx dy

D : fx2 + y2 1 0 y xg:

(D)

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

1) x = 5 ; y2 x = 4 ; y:

2) y = sin x

y = cos x

y = 0

x =2):

5. wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D), PRI ZA-

DANNOJ

POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI (x y)

(x y) = p

1) D :

f3 ; x y 3 + x 0 x 3g

2x + 3y:

2) D : f2 ; x y p

g (x y) = (x2 + y2):

4 ; x2

6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z

f(x y z) dx dy dz

(V )

W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI

(V),

OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:

1) x2 + y2 = 16y z + y = 16 x

0 z

2) 4z = y2 2x + y = 2 y = x y

0 z

7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:

1) x = 0 y = 2x y = 1 x + y + z = 3 (z 0):

2) x2 + y2 = z

z = h2:

8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX

V : fx2 + y2 + z2 4

y 0

z 0g

ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX

(x y z) =

x2 + y2 + z2

PRI USLOWII, ^TO

zadanie N 12

wARIANT 5

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

1. wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL	Z (x + y) dl
	(L)
GDE L ; DUGA LINII = 2 sin '.


2.	nAJTI MOMENT INERCII JOX			OTNOSITELXNO OSI
NOJ KRIWOJ 8 x = a(t		; sin t)		GDE t 2 [0 2 ]
	< y = a(1	; cos t)
3.	:		y = ln x
	nAJTI MASSU DUGI KRIWOJ
	ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX		(x y) = x2:

OX ODNOROD-

1 x 8

nAJTI KOORDINATY CENTRA TQVESTI ODNORODNOJ KONI^ESKOJ PO-

WERHNOSTI

x2 + y2 = z2

0 z 2:

wY^ISLITX

xyz d

GDE (S); ^ASTX POWERHNOSTI

(S)

x2 + y2 = 2 ; z

MEVDU PLOSKOSTQMI

z = 2 z = 1:

z = p

nAJTI MASSU POLUSFERY

R2 ; x2 ; y2

(x y z) = p

ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX

R2 ; x2 ; y2

wY^ISLITX

y dx ; x dy

GDE L ; DUGA KRIWOJ

(L)

x2 + y2 = 2

x 0 OT TO^KI A(0 ;p

2) DO TO^KI B(0 p

2).

dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE

(ln y+y=x;x) dx+(ln x+x=y+1) dy QW-

LQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNK-

CI@.

wY^ISLITX

ZZ (y2 + z2) dxdy

GDE (S); WERHNQQ STORONA PO-

z = p

(S)

WERHNOSTI

1 ; x2

OTSE^ENNAQ PLOSKOSTQMI y = 0 y = 1:

10. wY^ISLITX

ZZ x dydz + y dxdz + z dxdy GDE (S); WNE[-

(S)

NQQ STORONA ^ASTI PLOSKOSTI x + z

= 1 OGRANI^ENNAQ PLOSKOSTQ-

y = 0

y = 4 I LEVA]AQ W PERWOM OKTANTE.

zadanie N 13

wARIANT 5

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

WDOLX

F(x y) = x

i + x

DUGI PLOSKOJ KRIWOJ

= x2 ZAKL@^ENNOJ MEVDU TO^KA-

MI (1 1) I (3 9):

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = 2y

i ; 3x j + x k WDOLX DUGI

KRIWOJ L : x = 2 cos t

y = 2 sin t

z = 2;2 sin t;2 cos t

t 2 [0 2 ]:

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

9 y

(7z+1)g GDE

S; ^ASTX PLOSKOSTI x+y+z = 1

1) A = f0

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

GDE

2) A = (e;

; x) i + (xz + 3y) j + (z + x ) k

POLNAQ POWERHNOSTX

PIRAMIDY

2x + y + z = 2

= 0

y = 0

z = 0:

GDE S;

POLNAQ POWERHNOSTX

3) A = x

i + xy j + 3z k

KONUSA

x2 + y2 = z2

z = 4:

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA L

OKRUVNOSTX

+ y

= 9:

1) A =

;

2x2 + 2y2 = 1

2) A = yz

+ 2xz

j + xy

k L

;

< x + y + z = 3

5. pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE

9 POTENCIALXNYM.

A = 8

+ 3)

x + 3 ; zy

(z + 2)

<;(x

; z

w SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI POTENCIAL.

6. pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ

U(x y z) = x2 + y2 ; z:

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ U(x y z) = 14 x2y;px2 + 5z2 W TO^KE Mo(;2 1=2 1) W NAPRAWLENII WEKTORA NORMALI K POWERHNOS- TI S : x2 +4y2 = z2+4 OBRAZU@]EGO OSTRYJ UGOL S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI OZ.

8. nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZ- MENENIQ TEMPERATURNOGO POLQ T (x y z) = x + ln(y2 + z2) W TO^KAH

M1(2 1 1)

M2(2 ;3 0)

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015285.72 Кб14VAR-24.PDF
#
11.05.2015286.27 Кб14VAR-25.PDF
#
11.05.2015286.33 Кб15VAR-26.PDF
#
11.05.2015286.92 Кб14VAR-3.PDF
#
11.05.2015288.96 Кб15VAR-4.PDF
#
11.05.2015289.35 Кб14VAR-5.PDF
#
11.05.2015286.89 Кб15VAR-6.PDF
#
11.05.2015287.28 Кб14VAR-7.PDF
#
11.05.2015286.91 Кб14VAR-8.PDF
#
11.05.2015287.4 Кб14VAR-9.PDF