Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-25

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

286 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 25

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU M0(5 ;1 7)
PARALLELXNO DWUM WEKTORAM ~a1 = f2 7 5g ~a2 =		f0 3 1g nAJTI RAS-
STOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO \TOJ PLOSKOSTI.
2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ POLU^ITX KANONI^ESKIE I PARAMET-
RI^ESKIE
8 x + 5y + 2z ; 5 = 0
<	2x ; 5y ; z + 5 = 0
:
3. nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PRQMOJ
8 x = t ; 3	I PLOSKOSTX@ 5x ; y + 4z + 3 = 0:
> y = ;5t + 2	I PLOSKOSTX@ 5x ; y + 4z + 3 = 0:
<
> z = 3t ; 2
:
sOSTAWITX URAWNENIE PROEKCII DANNOJ PRQMOJ NA \TU PLOSKOSTX.
4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A(;1 2 4) B(;1 ;2 ;4) C(3 0 ;1) D(7 ;3 1):

sOSTAWITX URAWNENIE GRANI ABC I URAWNENIE WYSOTY DH OPU]EN- NOJ NA \TU GRANX. nAJTI DLINU WYSOTY.

5.pOSTROITX POWERHNOSTI

1)x = 2y + y2

2)x2 ; z2 = 1

3)y2 + z2 = (x ; 1)2

4)1 ; x = z2 + y2

5)z + 2 + x2 + y2 = 2x ; 4y + 6z

6.pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

	z = 4 ; y22
a) z = 2 + y
	x = ;1 x = 2:

x2 + y2 + z2 = 9 b) x2 + y2 = 4

y 0:

zadanie N 5

wARIANT 25

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

nAJTI PREDELY

64n3 + 3n

lim

;

lim

;

2pn

+ n

;

1 px + 3

lim

6n + n + 1

10:

lim x + 3x ; 4

(3n2

;

1)2

; (3n2 + 1)2

n!1

x!1

; x

lim q1 + arcsin(5x

7) ; 1

11:

lim

; cos 5x

x!0

; cos px

x!0

x(ex

;

ln(1 ; 7x)

lim

4n2

;

+ 2

;

12:

lim

n!1

x!0

5 arctg (x=3)

lim

;

1)! n

13:

lim

cos( x)

n!1 (n + 1)!

0:5

;

; n

;

lim

;

14:

lim (cos x)sin 3x

9n+1

n!1 3

+ 4

x!2

lim

1 + 2 + + n

15:

lim

+ 6

; 2 !

x+3

n!1

n + 2

3x + 11

+ 1

+ 3x

; 3x+2 3

2n + 5

xlim

;

16:

nlim

(5x

;

4)(2x + 1)2

;

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI x ! 0, ESLI

(x) = x sin x ; tgx

(x) = sin2 x + cos x

; 1

(x) = ln3 cos x

(x) = x arctg4 x

! x0

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

tg px) x0 = 0

3x + 2 !

x0 = ;6

1: ln(1 ; qx

sin

2: 1

;

cos 3x

x0 = 0

(x3

;

4x)2

x0 = 2

3x + 5

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

x2 + 3

1: y = x2

;

;2x 2

x < ;1

< p

3: y = >

(x ;

;1 x 4

8 + 2x

x > 4

2: y = 1 ; 57;x

zadanie

N 6

wARIANT 25

pROIZWODNYE

nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

y =

y = sin[cos2(tg3 x)]

3px2

px3

y = 4

qctg

x +

qctg

y = 7 ln sin(4x ; x )

y =

cos x ; tg x

ln x

y =

px ;

arctg (2=x)

;

p6x

9x2

+ 8

7) y = ln

(1 ; x3) p1 + x3;

y =

(x + 1)p2 + x2

1 + px

p3 3 + x3

tg4 (x=2)

y = (x

+ 2x + 5)cos

10) y = (1=x)

;

x = 3et

8 x = tg 3t2

11) 8 y = 1

;

ln2 t

12)

< y = cos

3t2

+ 1

13) x ; y = a cos

14) sx

; 2x = ln(x + 5 py)

nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00 FUNKCII

1) y = arcsin(x2

;

x = t5 + 2t

+ 6t ; 1

< y = t

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

y = x [sin(ln x) ; cos ln x)]

x0 = 1

8 x

2t + t2

1 + t32

t0 = 1

< y

;

1 + t3

nAJTI PERWYJ dy I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

y =

y = cos ln x

arctg e;x

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ

y = e

tg x

UDOWLETWORQET URAWNENI@ y0 sin x = y ln y

t = to

zadanie N 7

wARIANT 25

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

ln x			e;x
1) y = p		2) y =
			2(x +	1)
	x		2(x +	1)
	3) y =	x4
	3) y =	3
		x + 1

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

1) y = x + 2 arctg x		2) y = x + ln(x2 ; 1)
3)	y =	1 ; x3
		x2

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

2	1	3


1) y = x ; x2		2) y = 3 px ; x

3) y = x + ln x x

4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK- CII W TO^KE S ABSCISSOJ x = xo, ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@ PARAMETRA

	1)	y = x ; x3		x0 = ;1
	2)	8 x = arcsint	; t)	t0 = 1
		< y = arccos(1	; t)
5		:		a, WYSOTA h, WPISAN PRQ-
	. w TREUGOLXNIK, OSNOWANIE KOTOROGO			a, WYSOTA h, WPISAN PRQ-

MOUGOLXNIK NAIBOLX[EJ PLO]ADI (OSNOWANIE PRQMOUGOLXNIKA LEVIT NA OSNOWANII TREUGOLXNIKA). nAJTI STORONY \TOGO PRQMOUGOLXNIKA.

nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

y = 2px2

W INTERWALE [;8

;1]

7. iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY

; 7;

lim(1 + x2)x1

lim

2 ; arctg x

3) lim

x!0 sin 3x ; 2x

x!0

x!+1 ln(1 + x2 )

zadanie

N 8

fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

wARIANT 25

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

1) z = q1 ; x2 ; y2

2) z = qx ; y2 ; qy2 + x ; 2

nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

FUNKCIJ

1;y

z = (cos(x2

z = x

ln2 y

x2 ln py

+ 4)) 3y

;

sin(2x

)

arctg xy

z = pln sin 3x e;y

z =

;y2

tg(x=y)

; arcsinp

3. nAJTI ^ASTNYE;PROIZWODNYE zx0 I zy0 SLOVNOJ FUNKCII

z = py sin

2y!

GDE

= x e

v = arcsin

nAJTI PROIZWODNU@

zt0 ,

ESLI

z = q

x = 31 ; t2

y =

arccos(x + 3y)

nAJTI PROIZWODNYE

d z ,

ESLI

d x

z = y2 q

y = (2x ; 1)3

y2 ; x2

GDE

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0 NEQWNOJ FUNKCII y(x), ZADANNOJ WYRAVE-

NIEM

x ; y = a cos

sx ; 2x = ln(x + 5py)

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

ZADANNOJ WYRAVENIEM

z ln(x2 + z) = p

+ ln(y3 ; 4x)

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z DIFFERENCIALY FUNKCII

z = x tg y

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K PO-

; 2xy

+ 3y

+ 4x + 4y ; 4

Mo(2 ;2 zo)

WERHNOSTI

= 3x

W TO^KE

10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@

z = x3 ; y3 + 2x ; 3y

11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

z = x2 ; y2 ; 2a2

W ZAMKNUTOJ OBLASTI

D : fx2 + y2 a2g

zadanie N 9

wARIANT 25

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

sin x dx

p5 ; 3 cos x

3: Z (1 + e3x)2 e2x dx

5: Z

x2 p

8 ; 7x3

7: Z x e4x2;1 dx

5 ln x

;

11:

ln 2x dx

xxcos x

13:

sin3 x dx

15:

e2x sin 5x dx

17:

+ 3x + 9

3x) dx

19:

;

12x

+ 1

21:

x3 + 1

23:

(3x ; 1) dx

(x + 1) (x2 + 4)

25:

x ; 7

27:

1 + p

29: Z

(6 ; x2)3

31:

sin3 x cos2 x dx

33:

cos8 x

35:

qsin3 x cos3 x dx

37:

ln x ; 1 dx

ln2 x

;

2x + 1 dx

2x5

;

3x2

1 + 3x3

;

cosec

3x dx

5 ctg 3x ;

(1 + x2)

(3 arctg2x

;

10:

;

4x2

arcsin22x

12:

e;x=4 dx

arccos 2x dx

14:

p1 + 2x

16:

arctg px dx

18:

x2 + 4x

+ 1

20:

x dx

22:

(7x;;

6x;) dx

+ 2)2

;

2) (x

+ 1) dx

24: Z

(3x

+ 2x

;

1) (x

2) (x + 1)

26:

dx;

Z q(x + 1)2 ; px + 1

28:

v2 ; x dx

+ 2

30:

pxx2dx+ 9

32:

;

4 sin x

+ 7 cos x

34:

;

7 sin2 x + 6 cos2 x

36:

cos 8x sin 3x dx

38:

ex ; 1

p1 ; x

zadanie N 10

wARIANT 25

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

x3 + x

x arctg x dx

1) Z

x4 + 1

Z sin4 x dx

ln 3

+ 4

4) Z

dx 5)

x2 + 2x

;

ln 2

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

1) y = x2 + 3 [3 4] 2) y = [0 1=2] x ; 2

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

! dx

x + 2

;

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

x2 dx

x2 + 3x + 10

(1 + x3)2

q dx

x ln x dx

(x2 + x + 1)2

;

sin x

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI:

y = 2x ; x2

x = t2

y = 2

x = ;2:

y = t4

; t2

3) = 4 cos 4':

= 0

y = 0:

nAJTI OB_<M TELA

OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY

OGRANI^EN

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI:

1) { WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY:

x2 ; y2

y2 = 4 y = 2 y = 2:

y = ;2 y = 2:

;

. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH:

L :

y2 = (x + 1)3

L :

= a sin(2'):

x = 4:

8. zARQD Q

RAWNOMERNO RASPREDELEN WDOLX OTREZKA PRQMOJ DLINOJ L.

nAJTI WELI^INU SILY, S KOTOROJ OTREZOK PRITQGIWAET ODNOIMENNYJ ZARQD q, RASPOLOVENNYJ NA SEREDINNOM PERPENDIKULQRE NA RASSTOQ- NII L OT OTREZKA.

OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:

(V),

zadanie N 11							wARIANT 25
					kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE						Z Z f(x y) dx dy	PEREJTI K POWTORNOMU I
						(D)
RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ
LINIQMI:					1) x2 + y2 4 x2 + y2		4x:
					1) x2 + y2 4 x2 + y2		4x:
					2) x2 + y = 0 x ; y ;		2 = 0
2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE
	1		py
J =	Z	dy	Z	f(x y) dx:
	0		y
			2
3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX
Z Z						D : fx2 + y2 y ;x y xp			g:
	q	(x2	+ y2)3 dx dy
		(x2	+ y2)3 dx dy					3
(D)

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

;y + 6 = 0 x ; 2y = 2 y = ;2 y = 2:

2)(x2 + y2)7=2 = x3 y2:

5.wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D), PRI ZADANNOJ

POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI (x y)

D :

tREUGOLXNIK : A(3 4) B(6 2) C(3 1=2) (x y) = x + y:

D :

+ y2

16 x

x=p

x > 0 y >

3x ; y

(x y) =

x2 + y2

6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z f(x y z) dx dy dz

(V )

W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI

1) x + y = 4 z = 4 p

0 z

2) x

+ y

= 4 z = x

+ y

z 0:

7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:

1) z = 4(x2 + y2) y = 3x x = 2 y

0 z 0:

2) z2 + y2 = 2y z2 + y2 = 4y x = 2

x = 4:

8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX

V : f 2 x2 + y2 + z2 8 z2 = x2 + y2 x 0 y 0 z 0 g

ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX 20 (x y z) = x y:

zadanie N 12

wARIANT 25

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

x q

wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL

x2 ; y2

(L)

GDE L ; ^ASTX LINII y = 2;x OT TO^KI A(1 1) DO TO^KI B(2 0).

nAJTI MASSU LINII

x2 + y2 = 2x, ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX

(x y) = 1 + y:

nAJTI KOORDINATY CENTRA TQVESTI DUGI ODNORODNOJ ASTROIDY

x2=3 + y2=3 = a2=3 (x 0 y 0:)

ZZ (x

GDE (S) : z = p

wY^ISLITX

+ y + z) d

1 ; x2 ; y2

(S)

nAJTI PLO]ADX ^ASTI POWERHNOSTI

2y = x2 + z2

WYREZAN-

NOJ PLOSKOSTQMI

y = 3 y = 5:

nAJTI MASSU ^ASTI POWERHNOSTI

x2 + y2 = 4

z = 0

z = 1 ESLI

POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX (x y z) =

x2 + y2 + z2

wY^ISLITX

Z y dx + x(x2 + y) dy

GDE L;

PERIMETR TRE-

(L)

UGOLXNIKA ABC A(1 1)

B(3 1) C(3 5)

OBHODIMYJ W POLOVITELX-

NOM NAPRAWLENII.

dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE (12x2y+1=y2) dx+(4x3

;2x=y3) dy QW-

LQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNK-

CI@.

wY^ISLITX

ZZ x2 dydz GDE (S); WNE[NQQ STORONA POWERHNOSTI

(S)

x + y + z = 2 W PERWOM OKTANTE.

10. wY^ISLITX

ZZ y dydz ; x dxdz + z dxdy

GDE (S); WNE[NQQ

(S)

STORONA ^ASTI KONUSA z = 1 ; p

x2 + y2

0 z 1:

zadanie N 13

wARIANT 25

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

;

i + (y

2x)

j WDOLX

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = (x + 2y)

DUGI KRIWOJ

L :

y = 2 ; 8 MEVDU TO^KAMI A(;4 0) I B(0

2):

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = z

i ; x j + y k WDOLX

DUGI KRIWOJ

L : x = 3 cos t

y = 4

z = 3 sin t

t 2 [0 =2]:

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

;3zg

S ;

^ASTX PLOSKOSTI

x + y + z = 1

A = f2x

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI:

S ; POLNAQ POWERHNOSTX KONUSA

A = (3z

+ x) i + e

j + e

x2 + y2 = z2 z = 4:

;

POLNAQ POWERHNOSTX ^ETWERTI

3) A = x

i + x j + xz

PARABOLOIDA x2 + y2 = z

z = 1

x = 0

y = 0:

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA L

1) A = fy

(x + y)

;

KONTUR TREUGOLXNIKA

4ABC

WER[INAMI W TO^KAH

A(2

B(2

C(0 2):

L ; LINIQ PERESE^ENIQ POLUSFERY

2) A = yz i + 2xz j + xy k

z = p

I CILINDRA

x2 + y2 = 9:

25 ; x2 ; y2

2y e

; 2zg

pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE A = f2x + ze

POTENCIALXNYM. w SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI EGO POTEN- CIAL.

6. pOSTROITX LINII UROWNQ SKALQRNOGO POLQ U(x y) = y ; px + 2:

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ U(x y z) = 4 ln(3 + x2);8xyz W TO^KE Mo(1 1 1) W NAPRAWLENII WEKTORA ~a = f4 ;2 3g.

8. nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZ- MENENIQ TEMPERATURNOGO POLQ T (x y z) = (x2 + y2 + z2)3=2

W TO^KAH M1(1 1 1) I M2(0 ;2 ;1)

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015290 Кб26VAR-20.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-21.PDF
#
11.05.2015286 Кб25VAR-22.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-23.PDF
#
11.05.2015286 Кб26VAR-24.PDF
#
11.05.2015286 Кб25VAR-25.PDF
#
11.05.2015286 Кб26VAR-26.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-3.PDF
#
11.05.2015289 Кб26VAR-4.PDF
#
11.05.2015289 Кб25VAR-5.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-6.PDF