Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-15

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

287 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 15

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU M0(;1 6 7)

8 x = 5t + 2

I PRQMU@ < y = ;3t ; 5 : nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO

> z = 2t ; 4

\TOJ PLOSKOSTI: I OB_EM PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOORDINATNOGO UGLA.

2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ

8 2x ; 6y + 14z ; 1 = 0 < 5x ; 15y + 35z ; 3 = 0

: . -

POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ oPREDE LITX RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ.

3. nAJTI PROEKCI@ TO^KI A(0 2 1) NA PRQMU@

		8 x = 2t + 1:5
		<
		> y = ;t
		> z = t	+ 2
		:
4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY
A(7 2 4)	B(7 ;1 ;2) C(;5 ;2 ;1) D(10 1 8):
nAJTI UGOL MEVDU GRANQMI AC I BCD: nAJTI DLINU WYSOTY, OPU-
]ENNOJ NA GRANX AC.
5. pOSTROITX POWERHNOSTI
1)	y2	; 4y = 3x	2)	x2 ; z2 = 9
3)	x2	+ y2 ; 4z2 = 4	4)	z = 9 ; x2 ; y2
	y2 = 3(x2 + y2)			x + 3 = p
5)	y2 = 3(x2 + y2)		6)	x + 3 = p	3 ; z

6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

	x2	+ y2	= 2y
a)	x2	+ y2	= 4y
a)	z = x2 + y2
	z = x2 + y2

z 0:

	z = p2
b)		1	; y
	y = x
	z = 0

zadanie N 5

wARIANT 15

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

1 + 2 + 3 +

+ n

lim p

lim

; 4x

;

n!1

p9n4 + 1

2 p12 + 2x

;

pn2 + 2

lim

; p27n3 + 5

10:

lim cos(2x)

; 1

n!1

n + 7 + 5n

x sin 3x

+ 1

nlim

;

11:

lim

p1 + 5x

;

p1 + 2x

; 3

x!0

sin(1 + x)

lim

3n2 + 2

3n2

+ 5

12:

lim

;

1 + p3 x

n!1

x!;1

lim

n!n

13:

lim

log3 x ;

n!1

3(n + 1)!

5n!

x!3 px + 6

;

lim

; 4

;

14:

lim (3x

;

14)x

;

4n+2

n!1

7n + 8

x!5

xlim

03 ;

25x

;

5x+1

15:

lim (2

;

ex)ln(1 + x)

x!0

;

7x ; 6

lim 5x

16:

lim

x + 2x

x!2

;

x!1

;

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI

x ! 0, ESLI

(x) = 1 + x5

; cos2 4x

(x) = x ln(1 + p

)

(x) = arcsin3(x2 ; x)

(x) = 1 ; p

1 + tg3x

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

x ! x0

WELI^IN ZAPISATX

A(x ; x0)

\KWIWALENTNNYE W WIDE

= ;1

1: arctg p2x4

= 0

ln(7x + 8)

2: 2x + 1 ; 1

= 0

sin(x

; 2x

)

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

1:	y =	p		x2				8	x
1:	y =	p		2x + 1				8	x
								<	2
							3:	y = > ln(x + 1)
			;			4		>	3x
									3x

2:	y = 3				ex

x < 0

0 x 2 x > 2

zadanie			N 6								wARIANT 15
						pROIZWODNYE

1.	nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ
												1
	3		2		2					x	3
	3		2		2					x	3
1)	y = ln (x sh6x ; ch					6x)	1	2)	y = sx + 1 + px ; 2x3
3)	y =		1	; 5x3 arctg			1	4)	y = px 7arccos(1 ; x)
3)	y =	1 + tg x		; 5x3 arctg			x	4)	y = px 7arccos(1 ; x)

y = sln sin

arctg e;

x + 3

3=4 2

y = ln

(1 +

x x5)=2

ln x

pln 3x

y = cos2

11)

x = a3t

+ 1

< y = e

13) :sin2(xy) ; xy + ln(y2 + 1) = 0

2. nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00

6) y = pcos x3 4 + sin3 px

p1th;2xx sin2 3x 8) y = cos 6x p1 ; e2x

10) y = (ln arcsinx)arctg 4x

8 x = 3 sin3 t

12) < y = 3 cos3 t

14) q1 ; y2 = arcsiny ; x(y + 3)

FUNKCII

1) y =

ln 3x

= 3t

;

5t4

< y

= t

+ 7t

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

1 + cos x

1) y =

2 ln

;

x0 =

1 ; cos x

cos x

3 cos3 x

8 x

= t ln t

2) > y

= ln t

t0 = 1

nAJTI PERWYJ dy I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

1) y = (x ; 1) p5x + 4

y = ctg

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ y = 4 px + px + 1

8xy0 ; y +

UDOWLETWORQET URAWNENI@

y3 p

= 0

x + 1

t = to

zadanie N 7

wARIANT 15

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

y = x3

;

2) y = x q(x ; 1)

3) y = (x + 4) e2x

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

y = x ; ln(x + 1)

2) y =

; 3

3) y =

; 1

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

3 px

1) y =

2) y = x2 ln x

x + 1

3) y = x12 + x2

4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK- CII W TO^KE S ABSCISSOJ x = xo, ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@ PARAMETRA

	1)	y =		2(x + 2)			x0 = 1

				3(x2 + 1)
	2)	8	x = t(t + 1)				t0 = 2
				2	(1 ; t)
		< y = 2t
5		:				OSNOWANIE KOTOROJ ESTX DIAMETR
	. w POLUKRUG WPISANA TRAPECIQ,

POLUKRUGA. oPREDELITX UGOL TRAPECII PRI OSNOWANII TAK, ^TOBY PLO]ADX TRAPECII BYLA NAIBOLX[EJ.

nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

y = 2 23x ; 9 22x + 12 2x

W INTERWALE

[;1 1]

7. iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY

lim

ctg x

lim (1

x)ln x

lim

; x

+ ln x

; x!

;

x 1

;

p2x

;

zadanie N 8

fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

wARIANT 15

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

z = py sin x

z = px2 + y2 ; 9 ; p

16 ; x2 ; y2

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0 I z0 FUNKCIJ

z = arcsinx2

; y2

z = ln sin

1 ; y ; px ; y2

+ y2

z = e;xy

x3y ;

z = 2cos

y ; cos x3 + arctg qln(x ; 3y)

ln x

3. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx0 I zy0 SLOVNOJ FUNKCII

z = v usin v

GDE u = q

v = ctg (y2=x)

x ; ln y

4. nAJTI PROIZWODNU@

zt0 ,

ESLI

z = arccos4

y = 6t + 1

GDE

x = t +

5. nAJTI PROIZWODNYE

d z ,

ESLI

d x

x + 2y

z = ey

GDE

y = pln x + 1

ln 3x

6. nAJTI PROIZWODNU@

NEQWNOJ FUNKCII

ZADANNOJ WYRAVENIEM

(x2 + y2)3 = ey=x ;

2) q

cos x =

1 ; y2

(x + 7y)3

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0 I z0 NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

ZADANNOJ WYRAVENIEM

zy ; y3 + tg (x ; 7y) = zy + tg x

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z

DIFFERENCIALY FUNKCII z =

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-
NOSTI	z = x3	; 3axy2	+ y3	W TO^KE M0(a a z0)
		a
10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@					z = x3 + 8y3 ; 6xy + 1
11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII
xy	x2y	xy2
z = ; 2	; 6	; 8	D : fx 0 y 0		4x + 3y 12g
W ZAMKNUTOJ OBLASTI			D : fx 0 y 0		4x + 3y 12g

zadanie N 9

wARIANT 15

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

x4 dx

x10 + 10

Z tg x ln(cos x) dx

p1 + 5 ln x

27x! dx

Z cos2

2x dx

;

11:

(5x ;

2) e;

13:

(3x2

+ 5) cos 2x dx

15:

cos 2x dx

sin3

17:

; 5x

19:

(x + 1) dx

x2 + x + 5

21: Z

;23x2 ;

23: Z

+ 1) dx

+ 1)2 (x

;

25:

1 ; px

27:

x11 p

1 + x4

29:

q(4 ; x2)3

31:

cos4 x

sin x

33:

;

4 sin

5 cos x

35:

sin

cos

x dx

37:

ex p1 + e;2x

x cos x + sin x dx

(x sin x)2

x ; arctg x dx

x2 + 1

1 ;x x

8: Z (x2

;

1) e3x;x3 dx

10:

3x ;

;

9xp

12:

;

1 dx

arctg

14:

sin x ln tg x dx

16:

e;3x cos 2x dx

18:

4x2

+ 4x

+ 9

20:

;

2x) dx

p1 ; 3x ; x2

22:

;

; 8 dx

24:

+ x

;

(

1) dx

26:

3x + 1

;

3x + 1

+ p3x + 1

28:

3 ;

30:

(x2 + 1)5

32:

cos6 x

34:

a2 sin2 x + b2 cos2 x

36:

cos4

5x dx

x arccos x dx

38:

;

LET.

zadanie N 10

wARIANT 15

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

p3 p

x2 +1

tg2x dx

x sin 2x dx

1=2

x dx

2+sin x

;

+ 3x

;

1=8

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

y =

1 + px

[1 4]

y =

ln x

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

1) Z

p1 + x4 dx

2) Z

x dx

1=2

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

x dx

ln 2 dx

Z p

x) ln2(1

;

4x+1

;

1=2

1sin2(1=x) dx

3) Z

x p

3 + x

;

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

= x + 1

= 2 sin '

x = t2

x = 0

= 9 ; x:

= 4 sin ':

= et

y = e:

6. nAJTI OB_<M TELA, OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY, OGRANI^EN-

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI: 1) { WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY:

y = e;2x ; 1

x = 3t2

1) y = e;x + 1

2) y = 3 ln t

x = 0:

x = 0 y = 0:

7. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH

y = (e2x + e;2x + 3)=4

x = t3=3

1) L :

0 x 2:

2) L :

y = 4 ; t2=2 t 2 [0 p

8]:

sKOROSTX RASPADA RADIQ W KAVDYJ MOMENT WREMENI PROPORCIO-

NALXNA EGO NALI^NOMU KOLI^ESTWU. nAJTI OTNOSITELXNOJ KOLI^ESTWO RADIQ, KOTOROE RASPADETSQ ZA 100 LET, ESLI IZWESTNO NA^ALXNOE KOLI- ^ESTWO Q0 RADIQ I PERIOD EGO POLURASPADA T = 600

zadanie N 11

wARIANT 15

kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE

Z Z

f(x y) dx dy

PEREJTI K POWTORNOMU I

(D)

RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ

LINIQMI:

y = p

1) xy = 1

x = 3:

2) y2 ; x2 = 1

x2 + y2 = 2y

(y > 1):

2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE

J = Z1 dx

f(x y) dy + Z2 dx

f(x y) dy:

;px

;p2;x

3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX

Z Z y q

dx dy

D : fx2 + y2 2x y xg:

x2 + y2

(D)

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

1) y = x x2 = 2

; y:

2) y = e;x y = x2 x = ;1 x = 0 (x < 0):

5. wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX

(D), PRI ZA-

DANNOJ

POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI

(x y)

1) D :

fx2

2g (x y) = 2 ; y:

2) D : fx2

+ y2

R2 ;x

g (x y) = 3x2 + 2:

6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z

f(x y z) dx dy dz

(V )

W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI

(V),

OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:

1) z = x2 x + y = 6 y = 2x

x 0 z 0:

2) 6y = x2 + z2 y = 6:

7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:

1) 49(x2 + y2) = 4z2 7(x2 + y2) = 2z x = 0 y = 0

(x > 0 y > 0):

2) px2 + y2 z p

4 ; x2

; y2

0 y x:

8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX

V : fx=2 + y=4 + z=6

1 x 0 y 0 z 0g

ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX

(x y z) = (1 + x=2 + y=4 + z=6);4:

zadanie N 12

wARIANT 15

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL

x dl

GDE L ; ^ASTX SPIRALI = 2 e'

(L)

NAHODQ]EJSQ WNUTRI KRUGA

= 2:

nAJTI MASSU LINII y2 = 2x ZAKL@^ENNOJ MEVDU TO^KAMI M1(1 p

2) I

M2(2

2) ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX

(x y) = x=y:

x = t

wY^ISLITX INTEGRAL

(z+x)dl

GDE L :

= p

t 2 [0 1]

(L)

= t3

nAJTI PLO]ADX ^ASTI SFERY x

+ y

+ z

WNUTRI CILIND-

= R

x2 + y2 = Rx:

wY^ISLITX

x2y2

GDE (S);

^ASTX POWERHNOSTI KO-

NUSA z = p

(S)

WYREZANNAQ CILINDROM x2 + y2 = 4:

x2 + y2

nAJTI MASSU ^ASTI CILINDRI^ESKOJ POWERHNOSTI x2 + z2 = a2

0 y

h ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX

(x y z) = y + z +

; x :

wY^ISLITX Z

(x+y) dx+2x dy GDE L ; OKRUVNOSTX x2+y2 = 2x

(L)

OBHODIMAQ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII.

dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE

3x2 + y! dx+ x3 ;

! dy

QWLQETSQ

POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNKCI@.

wY^ISLITX

xy dydz

GDE (S); WNE[NQQ STORONA POWERH-

(S)

NOSTI

x2 + y2 = z OTSE^ENNAQ PLOSKOSTX@ z = 4

(z 0).

10.

wY^ISLITX

z dxdy + x dxdz + y dydz

GDE (S); WERHNQQ

(S)

STORONA ^ASTI PLOSKOSTI x ; y + z = 1 OBRAZOWANNAQ PERESE^ENIEM S

KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

zadanie N 13

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

wARIANT 15

;

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

i + x

WDOLX

F (x y) =

DUGI PLOSKOJ KRIWOJ

L :

y = x ZAKL@^ENNOJ MEVDU TO^KAMI

(0 0) I (2 8):

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = x

i ; z

j + y

k WDOLX

DUGI KRIWOJ L : x = 2 cos t

y = 3 sin t

z = 4 cos t ; 3 sin t ; 3

t 2 [0

3 =2]:

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

2 y

8g GDE

^ASTX PLOSKOSTI 6x+24y+z = 3

1) A = f9 x

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

+ 1

;

GDE S

;

POLNAQ

2) A = (x+y

) i+(xz+7y) j+(px

9z) k

POWERHNOSTX KONUSA

+ z2

= (y

;

3)2

y = 0:

GDE

3) A = (y + 6x) i + 5(x + z) j + 4y k

POWERHNOSTX

TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI

x2 + y2 = z

z = 0

y = x y =

2x y = 2:

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA L

(xy+x+y) (xy+x

= 3y:

1) A =

;

OKRUVNOSTX x +y

+ y

= 4

2) A = 3z

;

j + 2y

k L

;

< 2x ; 3y ; 2z = 1:

pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE

(xy

y + 3xz

+ 3xy)

POTENCIALXNYM. w SLU^AE

A =

+ 3yz x

POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI EGO POTENCIAL.

6. pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ U(x y z) = px2 + y2 :

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ
U(x	y z) = ln(1 + x2 + y2) ; px2 + z2 W TO^KE Mo(3 0	;4) W NA-
PRAWLENII WEKTORA NORMALI K POWERHNOSTI
S :	x2 ; 6x + 9y2 + z2 = 4z + 4 OBRAZU@]EGO OSTRYJ UGOL S POLO-
VITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI OZ.

8. nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZ-
MENENIQ TEMPERATURNOGO POLQ			T (x y z) =	px	;	yz
				y		x + p
				y		x + p	y
W TO^KAH	M1(4 1 ;2)	I	M2(1 4 0)
	M1(4 1 ;2)		M2(1 4 0)
			22

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015289 Кб28VAR-10.PDF
#
11.05.2015288 Кб27VAR-11.PDF
#
11.05.2015288 Кб27VAR-12.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-13.PDF
#
11.05.2015288 Кб25VAR-14.PDF
#
11.05.2015287 Кб25VAR-15.PDF
#
11.05.2015289 Кб25VAR-16.PDF
#
11.05.2015275 Кб25VAR-17.PDF
#
11.05.2015290 Кб27VAR-18.PDF
#
11.05.2015288 Кб25VAR-19.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-2.PDF