Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-3

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

287 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 3

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU M0(4 2 ;1)
8 x = 2t + 3
I PRQMU@ > y = ;t ; 1 : nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO
< z = 3t + 2
>
:
\TOJ PLOSKOSTI I OB_EM PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOOR-
DINATNOGO UGLA.
2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ
8	2x + 3y + 13 = 0
<	5y ; 2z + 29 = 0
:
POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ. oPREDE-
LITX RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ.
3. nAJTI PROEKCI@ TO^KI A(3 ;2 1) NA PRQMU@
	8 x = t	; 2
	<
	> y = 5
	> z = t	+ 2
POD PRQMYM UGLOM.	:

4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A(;1 2 4) B(;1 ;2 ;4) C(3 0 ;1) D(7 ;3 1):
nAJTI UGOL MEVDU GRANX@ AC I REBROM CD.
5. pOSTROITX POWERHNOSTI
1) x2 + y2 + z2 + 5y = 0		2) y2 + 4z2 = x2
3) x2 = 4 ; 3z		4) x2 + y2		; z2 = 4
5) z = 2 ; x2 ; y2		6) z = 1 + p
					y ; x2
6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI
	1 ; y = x2 + z2		z = x
a) y = 0		b) y2 = x		z 0
	x 0		x = 4

zadanie N 5

wARIANT 3

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

2)2

lim

n2 + 3

;

p3 8n6

n!1

+ 1

lim

(n + 3)2

; (n ; 1)2

n!1

+ 5

lim

3n4

; 5n + 2

(2n2

n!1

; 1)2 + (n2 + 3)2

lim

+ 1

;

n + 7n

n!1

lim (n + 2) ln

; 3

n2 + 5n

n!1

lim

2n;1 + 3

52n

n!1 4 52n;1

;

12n

lim (1 + sin 3x)ln(1+ x)

x!0

lim

x2 + 3x + 2

x!;2 x3 + 2x2 ; x ; 2

lim x2

;

4x + 4

2 p2 + x

;

10:

ln cos x

lim

sin x2

x!0

11:

lim

arcsin6x

x!0 px + 1

;

12:

lim

1 ; sin

x! =2

cos2 x

13:

lim

ln sin x

x! =2 (2x ;

) 3x

14:

lim (4 + 3x) x + 1

15:

x!;1

+ 2x

xlim 2

!1 4

1 + 7x

2x3

xlim

x3 + 1

16:

; 5A

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI x ! 0, ESLI

(x) = ln(1 + sh(sin x))

(x) = x tg22x

(x) = 2cos 2x ; 2

(x) = arcsin3p

x ! x0

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

arcsin(p4 + x2 ; 2)

x0 = 0

ecos 2x ; 1

x0 =

2x2 arctg3x ; 1

x0 = 0

tg ln2(3x ; 2) x0 = 1

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

1: y =

; x2

x 0

x3 ; 27

3: y = >

;px ; x 0 < x 1

2: y =

3x ; 4

x > 1

1 + e

;

zadanie N 6

wARIANT 3

pROIZWODNYE

1. nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

y = ln th

x +

1 ; x

1 + 2px

y = p

ln(p

t+ p

x + 6)

sin(x3 + 5x)

y = arcsinx ;

x2 + 4

y = ln 5v

sh3x 2x3

(3x ; 1)4 e;2x

arctg x

y = (ln x)

11) 8 x = t

+ e;t

< y = 2t

+ e

; x2

13)

qln x + ln y ; y3 + 3 ln 5 = 0

arctg p

y = arctg

+ 2p

y = cos e;x2

ctg x

y =

ln5 cos x

x + 1

(2x2

; 1)p

y =

x3 + 1

6x4

ln2(5x ; 1)

arcsin

10) y =

cos x

12) 8 x = 2;

sin t

< y = sin t

14)

y px + y = (x + 7y)

nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00

FUNKCII

y = ln p1

2) 8 x = arcsin(t

; 1)

;

< y

= arccos 2t

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

u 5

;

1) y =

x)(2 + x) + 5arcsinvx + 2

xo =

8 x

+ 1

to = 1

< y = sin 0

@3 + tA

4. nAJTI PERWYJ dy I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

y = (2x + 3) ln x

2) y = e;x(sin 2x ; cos 3x)

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ

y = 4 sin 2x + 5 cos 2x

UDOWLETWORQET URAWNENI@

d2y

+ 4y = 0

d x2

t = to

zadanie N 7

wARIANT 3

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

	4x		3
	4x		3
1) y =	4 + x2	2) y = (x + 1)3	px2

3) y = ln(9 ; x2)

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

			x3
1) y = p9x2 + 1	2)	y =	x3
1) y = p9x2 + 1	2)	y =	2(x + 1)2
			2(x + 1)2

3) y = x + e;x

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

1) y = x e;x	2) y = x2 p
		x + 1

3) y = x ; ln x

4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK- CII W TO^KE S ABSCISSOJ x = xo, ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@ PARAMETRA

1)	y =	2x

		x2 + 1
2)	8 x = 1 + t3		2	)
	< y = t(1 + t

5.	:
	iZ WSEH CILINDROW DANNOGO OB_EMA

POLNAQ POWERHNOSTX NAIMENX[AQ.

x0 = ;2

t0 = 2

VNAJTI TOT, U KOTOROGO

6. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII


		y = 2p		; x W INTERWALE
		y = 2p	x	; x W INTERWALE	[0	4]
7.	iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY					lim 1 ; x + ln x
1)	lim xn sin a		2) lim (x2 + 2x)px		3)	lim 1 ; x + ln x
	x!1 x	1					1 ; p
				x!1
				x!1		x!1		2x ; x2

zadanie N 8 fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH wARIANT 3

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

2) z = v1

z = sin qy ; x3

; 8 ; 4

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

FUNKCIJ

x ; 1

z =

ex=y

z = sin

+ 5arctg

;

y + 3

z = ln(ex + pex+2y

) 4)

z = arcsin

y2x

; 1

3. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx0 I zy0 SLOVNOJ FUNKCII

u v

z =

GDE u = p

= qy + 1 e;x y

4v2

;

ctg x

zt0, ESLI

4. nAJTI PROIZWODNU@

z = arctg

sin y

GDE

x = 52;7t

y = (7 ; t)5

5. nAJTI PROIZWODNYE

@z I

dz ,

ESLI

z = q

y = 5cos3 2x

x2 + y

GDE

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0 NEQWNOJ FUNKCII y(x), ZADANNOJ WYRAVE- NIEM

1)y2 sin 2x = arctg(x ; 2y)

2)x sin 5y ; y cos x = ln(x2 + y3)

7.nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx0 I zy0 NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

ZADANNOJ WYRAVENIEM arcsin(2xy) ; pzln (xy ; sin z) = 2y

dz d2z z = x2

8. nAJTI PERWYJ I WTOROJ DIFFERENCIALY FUNKCII py

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-

NOSTI	z = 23x	2	+ 72xy + 2y	2	+ 25	W TO^KE	M0(3 ;1 z0)

10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@ z = xy(12 ; x ; y)

11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

z = x3+y3;3xy W ZAMKNUTOJ OBLASTI D : fx 0 y 0 x+y 1g

zadanie N 9

wARIANT 3

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

11:

13:

15:

17:

19:

21:

23:

25:

27:

29:

31:

33:

35:

37:

Z arcsin2xp1 ; x2 p1 + 3 ln x

Z x dx cos2 2x

Z sin 4x + 2 cos 2x dx

Z x tg (4 ; x2) dx dx

Z cos2 xp3 ; 5tg x

Z x2 ex=2 dx

Z (x + 7) sin 3x dx

Z ln(x + p1 + x2) dx dx

Z x2 ; x ; 1 (2x + 3) dx

Z x2 ; 5x + 11 (x2 ; 3) dx

Z x42; 5x2 + 4

x dx

Z 9 ;dxx4

Z p3 x ;dxpx

Z px + px + 9 dx

Z x2px2 ; 4

Z sin3 xpcos3 x dx dx

Z 1 dx; 2 cos 3x

Z sin6 x

Z sin px dx

sin x dx

1 + cos2 x

5 + x6

Z e;x

sin e;x dx

4 ; 7x3

10:

; x

+ 3

12:

x2 ;

1 dx

14:

arctg

16:

cos(ln x) dx

18:

x2 + 6x

; 2

20:

(x + 2) dx

;

4x ; 4x2

2) dx

22: Z

;x2

+ 2x

24: Z

; x2

(x + 2)2(x + 4)2

26:

1 ; px2

28:

;

x)2

u1 + x

x;dx

30:

1 + x2

32:

2 cos2 x + 7 sin2 x ; 3

34:

ctg3 x dx

36:

sin x cos x

1 + sin4 x

e2x

+ 1

38:

e2x ; 1 dx

zadanie N 10

wARIANT 3

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

12p3 12x5 dx

x2p

(x+2) cos(x=2) dx

1+x6

;

2p3

cos3 x sin2 x dx

;

6x+10

x4 + x2

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

sin x

y = (x ; 2) p3x ; 1

[1=3 5=3]

y =

[0 ]

1 + cos2 x

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

1 arctg

; x dx

;

1 + x

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

2 sin3 x

;

1 dx

pcos x dx

1 + x2

;

tg x dx

x(x

;

1)(x

;

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

y = x2

= 3 cos 2':

x = 3 sin t

y = 3=2

= 1 + 3x2=4:

y = 3 cos t

(y 3=2)

. nAJTI OB_<M TELA, OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY, OGRANI^EN-

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI: 1) { WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY

y = x(4 ; x)

x = a(t

sin t)

y = a(1

; cos t)

= 0:

= 0

;

0 t 2 :

7. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH

1) L :

y = x2=4 ; (ln x)=2

2) L :

x = 4 cos3 t

1 x 2:

y = 4 sin3 t:

oPREDELITX KOLI^ESTWO TEPLA, WYDELQEMOGO PEREMENNYM TOKOM

I = I0 sin

2 t

;

'! W TE^ENIE PERIODA T W PROWODNIKE S SOPROTIW-

LENIEM R.

zadanie N 11								wARIANT 3
			kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE				Z Z f(x y) dx dy PEREJTI K POWTORNOMU I
			(D)
RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ
LINIQMI:		1) x = y2		y2 = 4 ; x:

		2) x + y = 1 x + 2y + 2 = 0 x = 0:
2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE
	y2				2	y
J = Z1 dy Z f(x y) dx + Z2 dy					Z;	f(x y) dx:
0	0			1	0
3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX
Z Z					D : fx2 + y2 10x y 0g:
		(x2 + y2)5 dx dy
(D)	q
4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI
		1) y = 2x y = 2x ; x2 x = 0 x = 2:
		2) y2 = 2x x ; y = 4:
5. wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D), PRI ZA-
DANNOJ
POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI				(x y)
1) D : f6 ; x y 2x x x = 4g (x y) = x2:
2) D : fx2 + y2				4		p		y xg (x y) = 2y:
							3


6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z f(x y z) dx dy dz
		(V )
W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI
(V),
OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:
1) z = p		z = 0 x = 1 y = 4x:
1) z = p	y	z = 0 x = 1 y = 4x:
2) z2 = 36(x2 + y2) x2 + y2 = 1 x = 0 z = 0 (x > 0					z > 0):
7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:
		1) y2 + z2 = 4x x = 4:
		2) x2 + y2 + z2 = 2R2 x2 + y2 = Rz z > 0:
8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX
V : f25 x2 + y2 + z2 81 x 0 z 0				;x y xg
ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX (x y z) = p
ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX (x y z) = p			x2	+ y2 + z2	:
20

zadanie N 12

wARIANT 3

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL

(x + y) dl

(L)

GDE L ; 2 = cos 2'

' 2 [; =4

=4]:

8 x = t cos t

t 2 [0 2 ]

nAJTI MASSU LINII

> y = t sin t

GDE

< z = t

ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX>

(x y z) = 2z ; qx + y :

nAJTI DLINU DUGI LINII

y2 = x3

ESLI

0 x 5:

nAJTI PLO]ADX ^ASTI SFERY

x2 + y2 + z2 = R2

z 0

WYRE-

ZANNOJ CILINDROM

x2 + y2 = r2

(r < R):

nAJTI MASSU ^ASTI POWERHNOSTI CILINDRA

x2 + y2 = R2

OGRA-

NI^ENNOJ PLOSKOSTQMI

z = 0 z

= H

ESLI POWERHNOSTNAQ PLOT-

NOSTX (x y z) =

R2 + z2

wY^ISLITX

GDE

(S); ^ASTX PLOSKOSTI

(1 + x

+ z)2

(S)

x + y + z = 1 ZAKL@^ENNAQ W PERWOM OKTANTE.

wY^ISLITX Z

x2 ex3 dx+y dy GDE L; DUGA PARABOLY y = x2 OT

(L)

TO^KI O(0 0) DO TO^KI A(1 1).

dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE

2x (1 ; ey) dx +

dy QWLQETSQ

1 + x2

(1 + x2)2

POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNKCI@.

9. wY^ISLITX	ZZ (y2 + z2) dydz	GDE (S); WNE[NQQ STORONA ^ASTI
	(S)
POWERHNOSTI x = 4 ; y2 ; z2 OTSE^ENNAQ PLOSKOSTX@ x = 0.
10. wY^ISLITX	ZZ x3dydz + y3dxdz + z3dxdy GDE (S); NIVNQQ
	(S)
STORONA POWERHNOSTI x2 + y2 = z2		0 z 3:

U(x y z) = xpy + ypz

zadanie N 13 sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE wARIANT 3

1. nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

DUGI PLOSKOJ KRIWOJ L : xy

MI (1 1) I (4 1=4):

~		2	~	1	~
~			~		~
F (x	y) = x		i +	y2	j	WDOLX
= 1	ZAKL@^ENNOJ MEVDU TO^KA-

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = (y ; z) i + (z ; x) j + (x ; y) k

WDOLX

DUGI KRIWOJ L : x = cos t

y = sin t

z = 2(1 ;cos t)

t 2 [0 3 =2]:

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ

A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

y zg

GDE S; ^ASTX PLOSKOSTI

6x + 3y + 2z = 6,

A = fx

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

2y)

)

GDE S

POLNAQ

A = (cos z + 3x)

i + (x

;

+ (3z + y

;

z = 6:

POWERHNOSTX PAROBOLOIDA 36(x

+ y

) = z

GDE S

; POLNAQ POWERHNOSTX

3) A = x

i + y j + z k

POLU[ARA

x2 + y2 + z2 = 1

z = 0

(z > 0):

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA L

(x + y)g

L ;

x 4:

A = f2y

GRANICA OBLASTI y

~ ~

z = 5(x2 + y2)

;

A = xz

;

j + y

k L

;

< z = 4:

5. pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE

POTENCIALXNYM. w

A = fy sin 2xy + z sin 2xz x sin 2xy + 1 x sin 2xzg

SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI POTENCIAL.

6. pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ

U(x y z) = x + pz2 ; y2:

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ

W TO^KE Mo(2 4 4) W NAPRAWLENII WEKTORA NORMALI K POWERHNOSTI S : 2x2 ; y2 + 4z = 0 OBRAZU@]EGO OSTRYJ UGOL S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI OZ.

8. nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZ-

MENENIQ TEMPERATURNOGO POLQ					T (x y z) = x(ln y ; arctgz) W
TO^KAH	M1(;2 1 ;1)	I	M2(;e		e 0)
	M1(;2 1 ;1)		M2(;e		e 0)
				22

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015286 Кб25VAR-22.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-23.PDF
#
11.05.2015286 Кб26VAR-24.PDF
#
11.05.2015286 Кб25VAR-25.PDF
#
11.05.2015286 Кб26VAR-26.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-3.PDF
#
11.05.2015289 Кб26VAR-4.PDF
#
11.05.2015289 Кб25VAR-5.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-6.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-7.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-8.PDF