Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-2

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

287 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 2

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE TO^KI
M1(1 ;3 ;1) M2(3 4 0) PARALLELXNO PRQMOJ	x + 5	=	y	=	z + 4	:
	;2		1		6

nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO \TOJ PLOSKOSTI I OB_EM PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOORDINATNOGO UGLA.

2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ

8 2x + y ; 3z ; 9 = 0

< ;2x + 3z + 4 = 0

: . -

POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ oPREDE LITX RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ.

3. nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PRQMOJ

x + 4

= y ;

3 = z

I PLOSKOSTX@ 4x + y + 5z = 4:

sOSTAWITX URAWNENIE PROEKCII DANNOJ PRQMOJ NA \TU PLOSKOSTX.

4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A(;4 2 6) B(2

;3 0) C(;10 5 8) D(;5 2 ;4):

sOSTAWITX URAWNENIE GRANI ABD I URAWNENIE WYSOTY CH, OPU]EN-

NOJ NA \TU GRANX. nAJTI DLINU WYSOTY CH PIRAMIDY.

5. pOSTROITX POWERHNOSTI

1) x2 + y2 = 1

;

2) x2 + z2 = (y + 2)2

3) 2x

4) x

= 2 + z

= 36

5) x2 ;;2y2 = z + 1

6) z = p

x ; y2

6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

x = q

y=2

x2 + y2 + z2 = 4

a) x + y = 3

z = px2 + y2

	z = 0 z = 2 x = 0

zadanie

N 5

wARIANT 2

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

lim

(1 + 3n)3 ; 27n3

lim 6x3

; 2x2

n!1

(1 + 5n)2

+ 7n2

x!0

sin2 5x

arctg

p5x

lim

n p7n + p4n + 2

10:

lim

(3n + pn)p7

n + 2n2

3;4x ; 1

n!1

;

x!0

lim arcsin(p9 + x3

ln(5x

+ 1)

;

: lim

1 ; p3x2 + 1

x!0

ln(1 + sin px5)

x!0

nlim

3n2 + 4n

;

12:

lim

1 + cos 3 x

x1+3x

+ 5n

;

x!1

lim

(n + 1)! + (n + 2)!

13:

lim

sin 5x

n!1

(n + 3)!

x!0

4n ; 5 8n;2

3x ;

lim

14:

lim

x;1

2n+1

+ 4

3 28

;

lim

; 8x + 3

15:

lim (cos x)sin 2x

x!1

;

2 + 1

x!0

lim p1 +

; 3

16:

lim

2n3

x!4

px ; 2

n!1

;

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI x ! 0, ESLI

(x) = ln cos x

(x) =

3x + 1 ; 1

(x) = esh x ; 1

(x) = tgx ; sin x

x ! x0

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

1: r p2x + 1 ; 1

x0 = 0

3: ln (5 ; x)

x0 = 4

x2 + 3x5

x0 = 0 4: v

tg x

x0 =

7x + 1

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

1:	y =	2x ; 1				2x
		x2 ; 4		>		2x
		2		>	4x ; 10
			3:	y = 8	4x ; 10
				< p
2:	y =					x + 1
2:	y =					x + 1
				:
		;		:
		3 + 4x1	3	>

x 0

0 < x 3 x > 3

zadanie N 6

wARIANT 2

pROIZWODNYE

1. nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

2 ;

x + 2x

y =

;

p4 x

y = (2x2 + 1)

ctg 2x

; 1

3x + 5

sin p1 ; x

y =

(x3 + 5)2

ln 3x

y = ln p

cos5 x

7xp;x

y =

tg x1 !

11)

x = arctg t

< y = t =2

13)

x cos 2y ; y 4;x = (x ; y)2

y = 2p

e2x + ex

chx

y = arcsin2 p

1 ; 3 cos2 x

y = ln(4

;

3x5) + 5v

1 + x

;

y =

; th 2x

(1 + chx)3 ln5 x

10) y = (4 cos x + 5)ln(x+8)

tgt

12)

< y =

8 x =

t2 ;

1 2

14) :3

+ pxy + ln y = sin x ;

y x

nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00

FUNKCII

x = ln 3t

1) y = cos epx

2) 8

< y = t

; t

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

3x2 + 4

1) y =

x3p

x0 = 1

1 + x4

2) 8 x = sin t2

t0 = 0

< y = arctg t

nAJTI PERWYJ dy I:WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

1) y = ln(3x + 4)

2) y = arctg p

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ y = e2t cos 3t

d2y

d y

UDOWLETWORQET URAWNENI@

; 4 d t

+ y = 0

d t2

zadanie N 7

wARIANT 2

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

	1	(x3 ; 9x)	2) y = 3(x ; 1)3	3

1) y =	5			px2

3) y = x e;x2=2

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

1) y = x + x1 ; 1	2) y = x + ln(x2 ; 4)
3)	y = x3 ; 1
	x3

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

y = x3

;

2) y =

qx(3 ; x

)

3) y = ln(1 ; x)

x ; 1

4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK-

CII W TO^KE S ABSCISSOJ

x = xo,

ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@

PARAMETRA

t = to

1) y = 3 px ; 2px

x0 = 1

2) 8 x = t(t + 1)

t0 =

;

< y

= t ; 1

P NAJ-

iZ WSEH KRUGOWYH SEKTOROW, IME@]IH DANNYJ PERIMETR

TI SEKTOR S NAIBOLX[EJ PLO]ADX@.

nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

y = q

; 1

W INTERWALE

2(x ; 2)2(8 ; x)

7. iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY

;

ctgx

;

1) lim

2) lim x

1+ln x

lim

x!2

; 2n

x!0

x! =4

pcos 2x

zadanie N 8 fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH wARIANT 2

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

z = 5p

1) z = ln x ; ln sin y

4x2+9y2;16

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0 I z0

FUNKCIJ

z = ln arcsin(x5

;

y3)

z = x3arctg

tg x ; 9

; 3 ; ln(2

; y2)

cos(6y + x)

5y 2

z = px2 ; y5

z = sin pxy ; 2x ; 5y

+ (x ; e

)

3. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx0 I zy0

SLOVNOJ FUNKCII

z = pu ; 6 9sin v

GDE

u = arctg

v = cos2 y

4. nAJTI PROIZWODNU@ zt0 ,

ESLI

z = xq1 ; arctg (y2)

GDE

x = ln(3 ; t) y = arccos(1 + t)

nAJTI PROIZWODNYE

ESLI

z = q

y = 5cos3 2x

x2 + y

GDE

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0

NEQWNOJ FUNKCII y(x), ZADANNOJ WYRAVE-

NIEM

1) ex2+1 ; yexy3;7y + 2x ln y = 9

sin2(x + 3y) ; ln

x2 ; y2 = 0

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0 I z0qNEQWNOJ FUNKCII z(x y)

ln z = s

; q

ZADANNOJ WYRAVENIEM

x3y ; z2

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z DIFFERENCIALY FUNKCII z = xe;y2

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-
NOSTI	x + y + z = 4 + qx	2	+ y	2	+ z	2	; 2	W TO^KE	M0(2 3 5)
10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@								z = 3x3 + 3y3 ; 9xy + 10
11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII
z = ln(3x2 + 4y2 + 2x + 7)			W ZAMKNUTOJ OBLASTI

D : f0 x 1 0 y 1g

zadanie N 9

wARIANT 2

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

(1 + x)2 dx

1 + x2

9x)3

5: Z

x3 ;e2;5x4 dx

e3xdx

;

e6x

(1 + x2)

arctg x

11:

x ln(x2

+ 1) dx

13:

x cos 6x dx

15:

ex sin 2x dx

17:

; 7x + 1

19:

(x + 2)dx

+ 2x + 5

21:

2x2

; x ; 1

; x2

; 6x

23:

x dx

+ 1

(px

+ 1)dx

25:

px7 + px5

27:

1 + x4

29:

x2)3

31:

;dx

cos x

sin2 x

33:

8 ;

3 cos x

35:

cos3 x

37:

e2x

;

e3x

cos 2x dx

cos x

;

sin x

tg2x dx

ln x

;

x pln2 x

x + 1

1 + x2

10:

cos

arcsinx

12:

p1 + x dx

14:

(x3

+ 2x)e;3x2 dx

16:

cos x dx

sin3 x

18:

6x ; x2

(3x + 4)dx

20:

x2 + 6x

;

22:

(3x4x;;164) dx

24:

;

26:

x + 1

;

1 dx

x + 1

+ 1

28:

; x

1 + x

30:

x3dx

(1 + x2)5

x dx

32:

cos

sin x

34:

5 ; sin2 x + 6 cos2 x

36:

1 + tg x

38:

Z arctg

x1 ! dx

zadanie N 10

wARIANT 2

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

p3x p3

1+x2

sin3 x

px ln x dx

cos4 x dx

3)	3	2x4 ;		5x2 + 3dx
	Z		x2	;	1
	2			;
	4=3			dx
6)	Z	p		dx

			9 + 6x			;	9x2
	1=3					;
	1=3

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

[ =4

=2]

y =

[0 =4]

sin2 x

x2 + 1

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

7 (x + 3)dx

arcsin(x2) dx

x2 + 7

;Z3

;pZ2=2

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

1=4

1) Z

2) Z

9x2 9x+2

1 4x

;

4) Z2

1 ; cos x2 ! dx

q(1 ; x )

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

y = x2

x = 2(t

; sin t)

= sin '

= 3x;

y = 2(1

; cos t)

y = 0

= cos ':

;

0 t 2 :

nAJTI OB_<M TELA

OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY

OGRANI^EN

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI: 1) { WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY

(y ; 1)2 = x

y = sin x

x = 0

y = 2:

y = 0 0 x :

. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH

= sin3('=3)

= ln x

1) L :

L :

0 ' =2:

3 x

15:

. oPREDELITX KINETI^ESKU@ \NERGI@ ODNORODNOGO DISKA MASSOJ M I RADIUSOM R WRA]A@]EGOSQ S UGLOWOJ SKOROSTX@ ! WOKRUG OSI, PROHODQ]EJ ^EREZ CENTR DISKA PERPENDIKULQRNO EGO PLOSKOSTI.

zadanie N 11										wARIANT 2
					kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE Z Z						f(x y) dx dy				PEREJTI K POWTORNOMU I
					(D)
RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ
LINIQMI:
	1) xy = 1 x2 = y y = 2 x = 0 (x > 0):
	2) x2 + y2 = 4 y2 = 3x y = 0 (x > 0 y > 0):
2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE
;p3			p4;x2			0		dx	2;p4;x2
J = Z	dx		Z	f(x y) dy + Z				dx	Z	f(x y) dy:
;2			0			;p	3		0
3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX
Z Z xq					dx dy		D : fx2 + y2 2x 0 y xg:
Z Z xq		(x2 + y2)3			dx dy		D : fx2 + y2 2x 0 y xg:
(D)

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

1) y = x x2 = 2 ; y:

2) x + y = 1 x + 2y + 2 = 0 x = 0:

5. wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D), PRI ZA- DANNOJ

POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI (x y)

1) D : f0 x y 0 y 1g (x y) = x2 + 2y2:

2) D : fx2 + y2 4 x 0 y 0g (x y) = x3:

6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z f(x y z) dx dy dz

(V )

W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI

(V),

OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:

;y2 z = 2 + y2 x = ;1 x = 2:

2)z = 4 ; x2 ; y2 z = 3:

7.wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:

1)	y = 3x z = 2(x2 + y2) x = 1 z	0 y 0:
2)	x2 + y2 + z2 = 9 x2 + y2 = 4 y 0:
8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX
	V : f1 x2 + y2 + z2 4 y 0g
ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX (x y z) = (x2		+ y2 + z2)3=2.
	20

zadanie N 12

wARIANT 2

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

x q

wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL

x2 ; y2

(L)

GDE L ; ^ASTX LINII y = 2;x OT TO^KI A(1 1) DO TO^KI B(2 0).

nAJTI MASSU LINII

x2 + y2 = 2x, ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX

(x y) = 1 + y:

nAJTI KOORDINATY CENTRA TQVESTI DUGI ODNORODNOJ ASTROIDY

x2=3 + y2=3 = a2=3 (x 0 y 0:)

ZZ (x

GDE (S) : z = p

wY^ISLITX

+ y + z) d

1 ; x2 ; y2

(S)

nAJTI PLO]ADX ^ASTI POWERHNOSTI

2y = x2 + z2

WYREZAN-

NOJ PLOSKOSTQMI

y = 3 y = 5:

nAJTI MASSU ^ASTI POWERHNOSTI

x2 + y2 = 4

z = 0

z = 1 ESLI

POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX (x y z) =

x2 + y2 + z2

wY^ISLITX

Z y dx + x(x2 + y) dy

GDE L;

PERIMETR TRE-

(L)

UGOLXNIKA ABC A(1 1)

B(3 1) C(3 5)

OBHODIMYJ W POLOVITELX-

NOM NAPRAWLENII.

dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE (12x2y+1=y2) dx+(4x3

;2x=y3) dy QW-

LQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNK-

CI@.

wY^ISLITX

ZZ x2 dydz GDE (S); WNE[NQQ STORONA POWERHNOSTI

(S)

x + y + z = 2 W PERWOM OKTANTE.

10. wY^ISLITX

ZZ y dydz ; x dxdz + z dxdy

GDE (S); WNE[NQQ

(S)

STORONA ^ASTI KONUSA z = 1 ; p

x2 + y2

0 z 1:

zadanie N 13

wARIANT 2

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

WDOLX

F (x

y) = x

i + xy j

OTREZKA PRQMOJ OT TO^KI A(0

1) DO TO^KI B(1

2):

;

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F =

x y

i + j + z

k WDOLX

DUGI KRIWOJ

L : x = p4 cos t

y = p4 sin t

z = 3

t 2 [0

=2]:

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

zg,

GDE S; ^ASTX

PLOSKOSTI x + 2y + 2z = 2

A = fx

WYREZANNOJ

KOORDINATNYMI

PLOSKOSTQMI.

;

A = (ln y + 7x) i + (sin z ;

2y)

j + (e

2z)

GDE S; SFERA

+ y

+ z

= 2x:

3) A = xz i + z

j + y

x2 + y2 = 1 ; z

GDE S; POLNAQ POWERHNOSTX

PAROBOLOIDA

z = 0:

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA L

(3x ; 2)g

L ;

A = f(x ; y)

OKRUVNOSTX x

+ y

= 6y:

+ y2 = 25

2) A = (x

;

i + x

+ k L

;

< z = 9:

5. pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE

; 2e

POTENCIALXNYM. w SLU^AE

A = f12x yz

4x z 4x y

POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI EGO POTENCIAL.

6. pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ

U(x y z) = y ; px2 ; z2:

U(x y z) = x2y;p

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ

x y + z2

5 ;2) W NAPRAWLENII WEKTORA

W TO^KE Mo(1

~a = 2 j ; 2 k:

M0(2 1=3 q

{

8. w TO^KE

3=2)

NAJTI UGOL MEVDU WEKTORAMI

GRADI

ENTAMI SKALQRNYH POLEJ

; 2 z

U(x y z) = x

V (x y z) =

2 x + 3y

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015287 Кб25VAR-15.PDF
#
11.05.2015289 Кб25VAR-16.PDF
#
11.05.2015275 Кб25VAR-17.PDF
#
11.05.2015290 Кб27VAR-18.PDF
#
11.05.2015288 Кб25VAR-19.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-2.PDF
#
11.05.2015290 Кб26VAR-20.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-21.PDF
#
11.05.2015286 Кб25VAR-22.PDF
#
11.05.2015287 Кб26VAR-23.PDF
#
11.05.2015286 Кб26VAR-24.PDF