Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ИДЗ_1 / VAR-10

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

289.14 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

zadanie N 4

wARIANT 10

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE PARALLELX- NYE PRQMYE

	8 x = 3t + 4		8 x = ;3t + 5
l1	: > y = 2t + 1	l2	: > y = ;2t ; 6 : nAJTI RASSTOQNIE OT NA-
	< z = ;2t		< z = 2t + 2
	>		>
	:		:
^ALA KOORDINAT DO \TOJ PLOSKOSTI I OB_EM PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ
PLOSKOSTX@ OT KOORDINATNOGO UGLA.

2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ

8 5x + y + 2z + 4 = 0

< x ; y ; 3z + 2 = 0

: . -

POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ oPREDE LITX RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ.

3. nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PLOSKOSTX@

x ; 3y + 7z ; 24 = 0 I PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DWE TO^KI
A1(;1 ;5 1)	I	A2(0 ;1 3):

sOSTAWITX URAWNENIE PROEKCII PRQMOJ NA DANNU@ PLOSKOSTX.

4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A(;1 ;5 2) B(;6 0 ;3) C(3 6 ;3) D(;5 1 ;4):

nAJTI UGOL MEVDU GRANX@ AD I REBROM

BC. sOSTAWITX URAWNENIE

WYSOTY CH I NAJTI EE DLINU.

5. pOSTROITX POWERHNOSTI

1) y 2

= 4x + 3

2) x ; 4x + y

= 0

= y2 + z2

4) x2 + 2y2 = 3

; 2z

5) x2 + y2 + z2 = 3x

6) x = ;p

4 ; y2 ; z2

6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

y = p

z = x2 + y2

y = 2px

x + y = 1

x + y + z = 6

x = y = z = 0

z = 0

zadanie N 5

wARIANT 10

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

lim

(2n + 1)4

;

(n ;

1)4

+ (3n + 1)4

n!1

(2n

;

pn3

+ 3

lim

; pn4 ; 1

10:

!1 p5n4 ;

1 + pn8 + 1

lim

;

3n2 + 5

11:

n!1

nlim

n2 + 5

12:

n + 3

lim

4 3

; 2

13:

n+3

5 3

;5n+! 7

lim

14:

3n ;

2(n ; 1)!

n!1

lim

; p1

; x2

15:

x!0 cos x

; cos2 x

lim (1 + 5 sin x)3 cosec x

16:

x!0

lim

x3 + 11x2 + 26x ; 8

x!;4

x3 + 4x2 + 4x + 16

lim p

6 + x

;

x!3 p4 ;3 x ;

1 4

xlim

; xx2;

32x

x + 3

;

lim ln(1 + 2xtg px)

x!0

;

lim

10 ; 3x

; 2

x!2

ln(5

2x)

lim (5

;

8;x)tg x

x!0:5

lim arctg (x2 + 3x)

x!2

sin 4 x

lim

1 ; cos 4x

x!0

1 ; cos 7x

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI x ! 0, ESLI

(x) = ln(cos x) ; x

(x) = x ; 2x2

2) (x) = 1 ; x ; e3x

(x) = tg35x

x ! x0

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

1: e;

7x sin 2x

; 1

x0 = 0 3:

p20 + 4x ; 2

x0 = 3

2: px arctg x3

! x0 =

x0 = 0 4:

1 + cos 3x + 2

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

1: y =

+ x

x < ;2

(4x ; 5)2

x 2

3: y = > ;p4 ; x

2x + 3

x > 2

2: y = 5 + 6

x;3

UDOWLETWORQET URAWNENI@

zadanie

N 6

wARIANT 10

pROIZWODNYE

nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

y = p

(5x ; 1)3

x2 + 1

;

y = arcsin3

;

(2x2

+ p

+ 3x + 5)3

3) y = th ln x ; x

4) y =

+ 1=x

2x + 3x

y = vln arccos

(x2)ln 3

y =

;

arcctg (x

3x)

)

sin 3x

8 cos

;

7) y = ln v

8) y =

;

e3 4x

;

x2)2

;

ln x + x

2px

y =

sin x

10) y = xpchx + 2x ; 1

8 x = 3 cos2 t

= t

ln t

= 3tgt;

11) > y = arctg

12) 8 y

:arctg y

x+y

13) e

; 2 ; 3y = 3

14)

y3 ; p

= ln(x

+ 1)

nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00 FUNKCII

2) 8

x = t

+ 2t

1) y = ex

+ 8t

< y = t

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

y = barcsinb ;

; x

8 x

= p

t t; 1

t0 = 2

pt ; 1

nAJTI PERWYJ:dy I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

1) y = 3; ln x

5 dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ

2) y = cos x + 1 sin x ; 1

y = ex cos 2x

y00 ; 2y0 + 5y = 0

t = to

3) y = x ; ln(x + 1)

zadanie N 7

wARIANT 10

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

1) y =

;

4x2

2) y = 3 px2

;

1 ; 4x2

y = x3 ex

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

+ 2x + 3

1) y = x ex

2) y =

x + 2

1 + x2

y = 1 + x

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

3				4
	2	2
			2) y = x + x + 2
1) y = q(x ; 8)

4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK- CII W TO^KE S ABSCISSOJ x = xo, ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@ PARAMETRA

y = x2 + 8p

; 32

x0 = 4

8 x = 2 ln(ctg t) + 1

t0 = =4

< y

= tg t + ctg t

pOSTROITX RAWNOBEDRENNU@ TRAPECI@, KOTORAQ PRI DANNOJ PLO-

]ADI

S IMELA BY NAIMENX[IJ PERIMETR. uGOL PRI OSNOWANII

TRAPECII RAWEN

nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

y = sin 2x ; x

W INTERWALE

]

7. iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY

lim

lim (sin x)tg x

3) lim ex ; esin x

x ; ex

;

sin x

D : fx2 + y2

zadanie

N 8 fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

wARIANT 10

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

z =

2):

z = arccos y ; 1

ln(x2 + y2 ; 9)

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

FUNKCIJ

z =

2) z = py ; x2

+ 6x

5y2

;

1 ; ln(2y + cos 3x) 4)

ln tg (y=x)

0x3 +

z = arctg2

p;x

z =

;

sin x + cos y2

SLOVNOJ FUNKCII

3. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx

I zy

z =

GDE

u = x2 ln y

v = ctg (x ; y5)

4. nAJTI PROIZWODNU@

zt0 ,

ESLI

x + y

x = ln(t3 ; t ; 4)

z =

GDE

y =

cos t2

5. nAJTI PROIZWODNYE

dz ,

ESLI

z = arccos x

; y

GDE y = e;x

sin2 p

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0

NEQWNOJ FUNKCII y(x), ZADANNOJ WYRAVE-

NIEM

x2 + ln y ; x2ey = p

2 ; y3 = cos(x=y) + sh(1=x)

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0

I z0

NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

ZADANNOJ WYRAVENIEM

tg z ; arctg z5

z ; y3

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z DIFFERENCIALY FUNKCII

z = ln(y2 ; ex)

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-

NOSTI	z = 5x	2	+ 4xy + 8y	2	; 32x ; 56y + 80	W TO^KE	Mo(1 1 zo)

10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@ z = x3 y3(6 ; x ; y)

11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII z = xy W ZAMKNUTOJ OBLASTI 1g

zadanie N 9

wARIANT 10

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

x sin(9

;

5x2) dx

(sin x + cos x)

sin x ; cos x

(1dx; x2) arcsinx

3x2

x;dx

p8x6 + 12

11:

x dx

cos2 x

13:

Z (3x ; 2) 5;2x dx

15:

cos2 x

e;x dx

17:

; x + 4

(3x

5) dx

19:

5x2

; x + 2

+ 1) dx

21: Z

(x;+ x

(x + 3)

(x2

; x + 1)

23: Z

(x + 4)

;

2)2

(1 + p1 + 3x) dx

25:

1 + 3x

1 +

27:

29:

(64

;

x2)3

x dx

31:

sin

; cos

sin4 x +

cos4 x

33:

4 + sin2 x

+ 6 cos2 x

35:

cos5 x dx

psin5 x

37:

cos p

2: Z (25 x + 1) 3x2+x dx

arctg2 x

q1 + x2

Z (3 ; x2)3 dx

8: Z

9x2x;3x4x dx

10:

5x ;

;

3x2

12:

ln 2x dx

arcsinpx

14:

; x

16:

arctg

18:

;

; x2

20: Z

(2x

10) dx

p1 +;x

+ x2

22:

(3xx3

2; 1)1 dx

;

24:

x4 ; 9

x dx

26:

; 1

28:

; x

;

30:

(x2 + 4)3

q 4

32:

sin

cos6 x

34:

;

2 cos x

36:

sin3 x

e2x

38:

ex + 1

zadanie N 10

wARIANT 10

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

x3 dx

sin x cos3 x dx

(x+3)e;2x dx

9+x2

=32

x dx

(32 cos2 4x;16) dx

;

x2 + 5x + 4

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

y = ctg3 x

[ =6 =2]

y =

[1=6 2]:

3x2 ; x + 1

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

p1 + x8

1 +

sin2 x dx

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

4 dx

sin x dx

x(1+ln2 x)

pcos

1tg (1=x) dx

3) Z

1 + x px

q(1 + x

)

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

= x2

= 3 sin 4':

= 4 cos3 t

= 2x ; x2:

= 2 sin3 t:

. nAJTI OB_<M TELA, OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY, OGRANI^EN-

NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI: 1) { WOKRUG OSI OX,

2) { WOKRUG OSI OY:

y = arcsinx

2) x2 + (y ; 2)2 = 1:

0 x 1:

. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH

x = et (cos t + sin t)

y = p1

; x2 + arccos x

1) L :

2) L :

y = et (cos t

;

sin t)

8=9:

; =6

t =6:

wERTIKALXNAQ CILINDRI^ESKAQ CISTERNA S RADIUSOM OSNOWANIQ

0 5 M I WYSOTOJ 2 M, ZAPOLNENA WODOJ. nAJTI SILU DAWLENIQ WODY NA STENKI CISTERNY.

zadanie N 11

wARIANT 10

kRATNYE INTEGRALY

1. w DWOJNOM INTEGRALE

Z Z

f(x y) dx dy PEREJTI K POWTORNOMU I

(D)

RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ

1) y = 11

y =

;

10x:

LINIQMI:

2) x + y

= 25 3y = 4x y = 0 (x > 0 y > 0):

2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE

ln y

J = Z dy

f(x y) dx + Z

dy Z f(x y) dx:

3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX

Z Z

D : fx2 + y2 6yg:

(x2

+ y2)3 dx dy

(D)

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

1)	y + x ; 4 = 0 y ; x + 4 = 0 x = 0 x = 1:
2)	xy = 2 y = 7ex y = 2 y = 7:

5. wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D), PRI ZA- DANNOJ

POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI

(x y)

D :

(x y) = 3x + 2y + 6:

y xg (x y) = 6xy2:

D : f1 x2

+ y2

36 ;p

6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z f(x y z) dx dy dz

(V )

W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (V), OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:

1) 3x + 4y = 12 z = 6

; x2

; y2

x 0 y 0 z 0:

y 0:

2) x

+ y

+ z

= 32 y

= x + z

7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:

1) 4z = x2 + y2 + 8 x2 + y2

= 4x

z = 0:

2) x = 3 y = 2x

z = 4p

8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX

V : f3(x2 + y2) z 3 0 y p

ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX

(x y z) =

q(x2 + y2)3

zadanie N 12	wARIANT 10
kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

1. wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL	Z sin2 x cos2 x dl
	(L)

GDE L ; DUGA LINII y = ln cos x (0 x =4).

2. nAJTI MASSU DUGI OKRUVNOSTI x2 + y2 = 4y LINEJNAQ PLOTNOSTX (x y) = 1 + x2:

3.	nAJTI DLINU DUGI LINII 8	x = a cos3 t
			3
	< y = a sin t t 2
4.	:
	nAJTI PLO]ADX ^ASTI POWERHNOSTI CILINDRA
KL@^ENNOJ MEVDU PLOSKOSTQMI y + z = 0			z = 0:

x 0 ESLI

[0 =2]

x2 + y2 = 1 ZA-

5.	wY^ISLITX	ZZ	(2y + z) d
		(S)
	GDE (S); ^ASTX POWERHNOSTI x2 + y2 + z2 = 1 ZAKL@^ENNAQ MEVDU
PLOSKOSTQMI y = 0			y = 1=2:
6.	nAJTI MASSU ^ASTI PLOSKOSTI				x + y + z = 1		NAHODQ]EJSQ
W PERWOM OKTANTE,			ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX (x y z) = x y z:
7.	wY^ISLITX	Z	y dx + (2y + 5x2) dy			GDE L ; LOMANAQ AOB :
		(L)
A(;4 0) B(0 0) O(0 0):
8.	dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE (e2y ;5y3 ex) dx+(2x e2y ;15y2 ex) dy
QWLQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNK-
CI@.
9.	wY^ISLITX	ZZ (2z ; 1) dxdy			GDE (S); NIVNQQ STORONA PO-
		(S)
WERHNOSTI x2 + y2 = 4 ; 2z OBREZANNOJ PLOSKOSTX@							z = ;2.
10. wY^ISLITX		ZZ x qx2 + y2 dydz+dxdz+z dxdy GDE (S); NIVNQQ
		(S)
STORONA POWERHNOSTI z = 1 ; p
STORONA POWERHNOSTI z = 1 ; p				x2 + y2		z 0:

zadanie N 13

wARIANT 10

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

F (x y) = (x + y) i + (x ; y)

WDOLX DUGI PLOSKOJ KRIWOJ

L : x = cos t

y = sin t

0 t =2:

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = y i=3 ; 3x

j + x k WDOLX

t 2

DUGI KRIWOJ

L : x = 2 cos t

y = 2 sin t

z = 1 ; 2 cos t ; 2 sin t

[0 =2]:

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

2 zg GDE

^ASTX PLOSKOSTI 3x+2y +6z = 6

1) A = f x

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

+ z

+ 6x)

; 2y)

; z)

GDE

POLNAQ

A = (y

i+ (e

j + (y

POWERHNOSTX KONUSA

9(x2 + z2) = y2

y = 4:

GDE

POWERHNOSTX TELA,

A = x

i + 3y j + 2z

OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI 2(x2

+ y2) = z

z = 4 ;2(x2 + y2):

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA

;x;

L ; KONTUR 4ABC

A = fy;

A(1 1) B(2 1)

C(2 2):

x2 + y2 + z2 = 4

2) A = 2yz

i + xz

;

k L

;

= 1

(z >

0):

< x + y

5. pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE

9 POTENCIALXNYM.

cos y

2 cos x +

A = 8sin y + 2z sin x

;

2pz=

w SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI EGO POTENCIAL.

6. pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ U(x y z) =

+ y2

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ

U(x

z) = ln(1 + x2)

;

xypz

W TO^KE

Mo(1

;2 4)

W NAPRAWLENII WEKTORA NORMALI K PO

WERHNOSTI S :

4x2

; y2 + z2

= 16 OBRAZU@]EGO OSTRYJ UGOL S

POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI OZ.

8. nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZ-

MENENIQ TEMPERATURNOGO POLQ

T (x y

z) = x2 ; arctg (2y + z)

W TO^KAH

M1(2

M2(0

;

1=2 0)

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИДЗ_1

#
11.05.2015286.59 Кб27VAR-1.PDF
#
11.05.2015289.14 Кб27VAR-10.PDF
#
11.05.2015287.52 Кб26VAR-11.PDF
#
11.05.2015287.56 Кб26VAR-12.PDF
#
11.05.2015286.53 Кб25VAR-13.PDF
#
11.05.2015287.74 Кб24VAR-14.PDF
#
11.05.2015287.07 Кб24VAR-15.PDF