4.7.2. Постановка и содержание задачи оптимизации

Задача оптимизации ставится следующим образом. Имеется целевая функция (показатель качества, показатель эффективности функционирования, параметр оптимизации)

и функциональные ограничения типа равенств, неравенств и дискретности, которые накладываются на значения каждого из проектных параметров в отдельности и на связи между ними. Например, функции ограничений или функции связи могут иметь вид

или

где –a_j.

Требуется выбрать такие значения проектных параметров , при которых целевая функция имеет наилучшее значениеextrпри заданных ограничениях.

Задача оптимизации решается независимо от метода оптимизации в следующем порядке:

• составление математического описания (модели) объекта или процесса;

• формулирование и формирование критерия оптимальности;

• составление целевой функции и функций ограничений;

• выбор метода оптимизации;

• оценка погрешности.

Кратко охарактеризуем эти этапы.

В каждом конкретном случае модель строится исходя из задачи оптимизации с учетом ограничений, требуемой точности и объема имеющейся информации об объекте (процессе) и его элементах. При этом должен быть учтен разумный компромисс между сложностью модели и точностью получаемых результатов.

Весьма важным является выбор критерия оптимальности и его численного значения – показателя оптимальности. Экстремальное значение главного показателя оптимальности, каковым является целевая функция, характеризует наиболее важное свойство объекта или процесса. При этом остальные показатели рассматриваются как частные и переводятся в разряд ограничений.

В случае, когда необходимо получить наилучшие значения нескольких показателей оптимальности для одного и того же объекта (процесса), то рассматривается векторный показатель оптимальности, приводящей к многокритериальной оптимизации. Решение такой задачи, не являясь в общем случае оптимальным ни для одного из частных показателей, оказывается компромиссным для векторного показателя в целом.

Поскольку нет общих методов составления целевых функций, то эта операция в определенной степени является искусством (см. § 1.10).

При оптимизации встречается целый комплекс ограничений – функции ограничений или функции связи, которые могут быть связаны как с ограниченностью ресурсов, так и с требованиями, наложенными на проектные параметры и их зависимости между собой, например, требования по массе, габаритам, надежности, стоимости и т.п.

Число m функциональных ограничений не может быть больше числа проектных параметров n, всегда m ≤ n. Разность (n – m) определяет число степеней свободы в данной задаче, т.к. только (n – m) проектных параметров берутся произвольными. Значения остальных параметров определяются из функциональных ограничений типа равенств. При n = m число степеней свободы равно нулю и функциональные ограничения определяют значения всех параметров x_i. В этом случае оптимизация целевой функции не требуется, т.к. существует лишь одна альтернатива, определяющая ее значение (все параметры x_i определяются из системы функциональных ограничений типа равенств). Следовательно, при n = m задача оптимизации не возникает, она возникает при m < n.

Ограничения должны быть заданы на показатели качества (эффективности), например, вида

y₁ ≤ y_1M, …, y_m ≤ y_mM.

Наконец, к ограничениям относятся условия работы оптимизируемого объекта: характеристики сигналов, помех, диапазона температур, влажности, давлений и т.п.

Выбор метода поиска оптимального решения зависит от ряда факторов, таких как: объем имеющейся информации об объекте и элементах (т.е. особенности целевой функции и вид ограничений), способ осуществления оптимизации, требуемый характер решения, цель поиска и т.п. Кроме того, при выборе метода решения задачи следует иметь в виду, что если входная информация, исследуемая при решении задачи, является заведомо неполной и неточной, то, видимо, нецелесообразно использовать для решения задачи точные методы. В таком случае возможно получение удовлетворительных результатов приближенными методами, которые проще реализуются.

При оптимизации в задачах с ограничениями, а это все технические задачи, находится условный экстремум. Однако решение таких задач представляет определенные трудности. Одним из способов решения подобных задач является преобразование исходной задачи с ограничениями в задачу на безусловный экстремум. Для этого используются методы Лагранжа, штрафных функций и т.п.