4.7. Оптимизация. Методы оптимизации

4.7.1. Общие сведения. Терминология

Некоторые сведения об оптимизации, которые необходимо учитывать при изучении данного раздела, даны в § 1.13.

Проблема оптимальности является одной из важнейших в области конструирования и производства ЭА, так как решение этой проблемы позволяет повышать эффективность изделий и технологических процессов. Принятие тех или иных решений также не обходится без применения методов оптимизации.

Оптимизация (от лат. Optinum – наилучшее) – это процесс нахождения экстремума функции или выбор наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных вариантов (альтернатив).

Какую бы техническую задачу ни решал конструктор или технолог, он всегда стремится получить наилучший или оптимальный ответ. Любая практически реализованная конструкция или любой технологический процесс могут рассматриваться с определенной точки зрения как оптимальные, так как имелись определенные основания для предпочтения их остальным. Однако в принципе выбор оптимального варианта является сложной и трудоемкой задачей, не решенной полностью до сих пор.

Если рассматривать задачи оптимизации в конструировании и технологии, то их можно сформулировать следующим образом.

Задача оптимизации в конструировании состоит в выборе наилучшего в некотором определенном смысле варианта технического решения из большого числа возможных вариантов.

Задача оптимизации в технологии состоит в том, чтобы наилучшим образом построить технологический процесс и определить оптимальные режимы его проведения.

При разработке конструкций ЭА и технологических процессов ее производства решается большое количество задач, из которых вытекает многообразие задач оптимизации.

Так при конструировании ЭА решаются задачи:

• оптимизация параметров;

• оптимизация структур по критериям минимальных массы, затрат, габаритам, числу внутренних и внешних связей, суммарной длине соединительных проводников, числу пересечений соединительных проводников, магнитным и электрическим взаимодействиям;

• оптимизация конструкции модулей различных уровней по надежности, тепловому режиму, по размещению, по технологичности, по стоимости;

• оптимальное резервирование с учетом ограничений по массе, габаритам, стоимости;

• оптимизация требований к надежности элементов;

• оптимизация количества запасных элементов;

• оптимизация последовательности проверок ЭА при ограниченном времени восстановления и другие.

При разработке производственных процессов изготовления ЭА решаются задачи:

• оптимизация структуры производственного процесса и его отдельных звеньев;

• оптимизация использования при производстве данного изделия технологических процессов и производств;

• оптимизация затрат труда, средств и времени на изготовление изделия;

• оптимизация номенклатуры технологических документов, применяемых в качестве директивных;

• оптимизация типовых, групповых и пр. технологических процессов;

• оптимизация раскроя материалов и другие.

Прежде чем приступить к изучению математических методов оптимизации, необходимо ознакомиться с рядом понятий.

Объект оптимизации – система или изделие, подвергаемые оптимизации.

Факторное пространство – это пространство (область) Х с координатами , которые соответствуют независимым переменным системы, варьируемым при исследовании.

Функция отклика F (целевая функция) – функция, связывающая параметр оптимизации y с переменными, варьируемыми при исследовании

y = F(x₁, x₂, …, x_n).

Поверхность отклика – геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве.

При изложении вопросов, связанных с поиском экстремума, полезно использовать графическое изображение поверхности отклика и траектории движения от исходной точки к экстремальной в пространстве управляемых параметров, получающейся в результате ряда последовательных шагов поиска.

Поверхность отклика функции изображают в виде совокупности линий равного уровня. Линия равного уровня – множество точек пространства, в которых рассматриваемая функция имеет одинаковые значения, равные заданной величине (при двух переменных x₁ и x₂). При трех переменных линии равного уровня становятся поверхностными, а при п > 3 – гиперповерхностными равного уровня (рис. 4.14)

Изображающая точка – точка в факторном пространстве, характеризующая состояние системы (в рассматриваемый момент времени).

Глобальный экстремум – это наибольшее (наименьшее) значение функции отклика F(x₁,…, x_n) в пределах всей области Х переменных x_i (точка 0₁ на рис. 4.14).

Локальный экстремум – это наибольшее (наименьшее) значение функции отклика F(x₁, …, x_n) в некоторой точке по сравнению с ее значениями в точках, принадлежащих малой окрестности точки(точка 0₂ на рис. 4.14).

Если в пределах области Х имеется всего один экстремум, то он обязательно будет глобальным.

Рисунок 4.14.

Экстремум называется граничным, если он имеет место в граничных точках области Х, и внутренним, если он соответствует внутренней точке области Х.

Экстремум называется безусловным, если на переменные x_i не накладывается никаких ограничений, и условным, если переменные x_i связаны ограничениями типа равенств.

При оптимизации могут решаться задачи:

– задача классической оптимизации;

– задача неклассической оптимизации.

Классическая задача оптимизации заключается в оптимизации целевой функции

y = F(x₁, x₂, …, x_n) = extr,

т.е. определяются такие значения независимых переменных (проектных параметров) x_i, при которых целевая функция приобретает экстремальное значение с учетом всякого рода ограничений.

Неклассическая задача оптимизации имеет место, когда неизвестна функциональная зависимость между показателем качества (параметром оптимизации) y и параметрами x_i. Поэтому в такой задаче оптимизируется не только целевая функция, но и сам способ оптимизации. Другими словами при неклассической задаче оптимизации выбирают также оптимальную стратегию поиска экстремума, а не только оптимальное значение параметра оптимизации y.

В общей структуре проектирования и изготовления электронной аппаратуры можно выделить три этапа оптимизации:

– структурная оптимизация – выбор наилучшей конструкторской реализации ЭА, обеспечивающей выполнение заданных функциональных требований;

– параметрическая оптимизация – выбор наилучшего соотношения номинальных параметров, обеспечивающих заданные электрические характеристики, и определение допусков на параметры элементов по допустимому отклонению выходных параметров;

– технологическая оптимизация – выбор номинальных значений конструкционных параметров и технологической точности на них, исходя из производственных и экономических требований.

На каждом из этапов встает проблема формулировки критерия оптимальности и оптимального решения задачи. Однако системный подход подразумевает общую оптимизацию проектирования и изготовления ЭА, так что в отдельности каждое из них может и не быть оптимальным.

Общая форма показателя оптимальности (эффективности функционирования) должна вытекать из основного постулата исследования операций: оптимальным решением является то решение, которое обеспечивает выполнение поставленной задачи при минимуме материальных затрат, либо то, которое обеспечивает выполнение поставленной задачи с максимальной эффективностью при фиксированных материальных затратах [44*].