4.5. Потоки событий

Поток событий – это последовательность событий, при которой они происходят одно за другим в случайные моменты времени. Случайный поток можно также назвать случайным точечным процессом, так как реализации такого процесса представляют собой случайную последовательность точек на временной оси.

Случайный точечный процесс, удовлетворяющий трем условиям: ординарности, стационарности и отсутствию последствий, называется простейшим или пуассоновским процессом или потоком.

Свойства простейшего потока событий.

Стационарность – свойство потока событий, заключающееся в том, что вероятность появления определенного числа событий за фиксированный промежуток времени не зависит от положения этого промежутка на оси времени, а зависит только он его длины, т.е. плотность потока появления событий постоянна во времени.

Ординарность – свойство потока, заключающееся в том, что события возникают поодиночке, а не группами, и практически невозможно одновременное появление двух и более событий.

Отсутствие последствия – свойство потока, заключающееся в том, что вероятность появления определенного числа событий в течение некоторого промежутка времени не зависит от числа и характера возникновения событий до начала этого промежутка времени, т.е. события взаимно независимы и случайные промежутки времени между соседними событиями также взаимно независимы.

На практике не всегда одновременно выполняются все три свойства, но простейший поток очень удобен для решения различных задач.

Важным понятием является интенсивность потока λ(t) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока событий его интенсивность есть величина постоянная, т.е. λ(t) = λ= соnst.

Простейший (стационарный пуассоновский) поток описывается распределением (законом) Пуассона

где а = λt,

т.е.

здесь k – число событий на интервале t;

р(k) – вероятность появления k событий за интервал времени t.

Оценка параметра а выполняется следующим образом. Если п – число проведенных испытаний и k_i – число событий, появившихся в i-м испытании, то оценка максимального правдоподобия параметра а равна .

На рис. 4.9 приведено семейство распределений Пуассона для различных значений параметра а.

Для простейшего потока с интенсивностью λ интервал Т между соседними событиями имеет показательное распределение с плотностью

Если отсутствует свойство стационарности, то имеет место нестационарный пуассоновский поток (λ – зависит от времени), у которого интервал между появлениями событий уже не подчиняются показательному закону распределения.

Рисунок 4.9.

Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма (или рекуррентным). Для такого потока интервалы Т₁, Т₂, … между событиями представляют собой последовательности независимых случайных величин с одинаковым произвольным распределением. При показательном распределении интервалов между событиями поток Пальма становится простейшим потоком.

Потоки Пальма применяются в теории надежности при процессах восстановления изделий после отказов.

В теории массового обслуживания и теории надежности широко применяются потоки Эрланга.

Потоком Эрланга k-го порядка с параметром λ называется поток Пальма, у которого интервалы между событиями распределены по закону Эрланга k-го порядка (k = 2, 3, …). Плотность распределения для закона Эрланга k-го порядка равна

Простейший поток представляет собой поток Эрланга 1-го порядка (k =1, а 0! =1).

Потоки Эрланга получаются «просеиванием» простейшего потока: при этом в простейшем потоке сохраняется каждое k-е событие, а все промежуточные отбрасываются. Например, если в простейшем потоке с интенсивностью λ сохранять каждое второе событие, а промежуточное между ними отбрасывать, то получится поток Эрланга 2-го порядка; если сохранять каждое третье событие, а два промежуточных между ними отбрасывать, то получится поток Эрланга 3-го порядка и т.д.