4.7.5. Методы многомерного поиска

Рассмотрим некоторые методы, применяемые при решении конструкторских и технологических задач.

1. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Этот метод используется для решения задач с ограничениями (условный экстремум) путем преобразования их в задачи на безусловный экстремум.

Метод применяется при ограничениях типа равенств.

Постановка задачи:

имеется целевая функция

, где <х₁, х₂, …, х_n >,

и система ограничений

или где и m < п.

В этих равенствах n неизвестных независимых параметров .

Функции и являются непрерывными.

Решается задача оптимизации, т.е. отыскание условного экстремума: найти вектор , обеспечивающий экстремум целевой функции и удовлетворяющей системе ограничений (*).

Используется теорема Лагранжа: если функция достигает своего экстремума при заданных условиях (*) в точке , то существуют такие числа , при которых функция Лагранжа в той же точке имеет безусловный экстремум, т.е.

Функция Лагранжа связывает целевую функцию и функции ограничений

Числа λ_j называются неопределенными множителями Лагранжа.

Таким образом, вычисление условного экстремума функции сводится к отысканию безусловного экстремума функции Лагранжа .

Последовательность нахождения экстремума следующая.

Вначале составляется функция Лагранжа , в которой λ_j некоторые пока неопределенные множители.

Затем записываются необходимые условия безусловного экстремума функции Лагранжа, т.е. п уравнений вида

Эти п уравнений образуют с m уравнениями ограничений (*) систему из (п + m) уравнений с п + m неизвестными: п неизвестными переменными х₁, … х_п и m неизвестными множителями Лагранжа. Решение этой системы уравнений позволяет определить как множители Лагранжа, так и оценки переменных , т.е. получить искомое оптимальное решение. Множители λ_j служат только для проведения вычислений и в дальнейшем не используются.

п производных имеют вид ():

2. Метод линейного программирования

Метод применяется для решения задач, связанных с экономикой, организацией и планированием производства: транспортные, проблемы запасов, размещение оборудования, определение оптимального ассортимента продукции, распределение ресурсов, оптимальный раскрой материалов и т.д. Метод легко реализуется на ЭВМ.

Метод используется для решения линейных задач оптимизации, в которых целевая функция F(х) линейно зависит от управляемых параметров

и функции ограничений также линейны.

х₁  0, …, х_п1  0,

где п₁ ≤ п.

В этой задаче имеется m₁ ограничений типа равенств, (m – m₁) ограничений типа неравенств и п₁ ограничений типа неотрицательности.

При отсутствии ограничений типа неравенств и неотрицательности целевая функция не имеет экстремума.

Задача линейного программирования – ЛП – имеет смысл лишь, если

m < п₁.

Задачу ЛП можно решать аналитическими и графическими методами. Аналитические методы, которые представляют собой последовательность вычислений по некоторым правилам, являются основой для решения задач на ЭВМ. Их единственный недостаток заключается в том, что они недостаточно наглядны, в отличие от графических методов, которые используются для решения простых задач ЛП, допускающих графическую интерпретацию.

Общие результаты теории ЛП [18]:

1. Задача ЛП в зависимости от исходных данных имеет либо одно решение, либо континуум решений, либо вообще не имеет решения (лат. – continuum – непрерывное, сплошное – матем.).

2. Область допустимых значений переменных х₁, … х_п имеет вид выпуклого многогранника (при х₁ и х₂ – выпуклого многоугольника).

3. Если существует единственное решение, то оно соответствует одной из вершин многогранника (многоугольника) ограничений.

4. Если решений континуум, то они соответствуют двум и более вершинам многогранника (многоугольника) ограничений, а также всем его ребрам или граням, расположенными между этими вершинами.

5. Решения, соответствующие вершинам многогранника (многоугольника) ограничений называются базисными (опорными) решениями.

Из п. 3 и 4 следует, что при поиске экстремума не нужно просматривать внутренние области многогранника (многоугольника).

На рис. 4.23 представлен многогранник ограничений и определение вершины многогранника, сообщающей целевой функции максимальное значение.

Рисунок 4.23.

В случае простых задач решение получается непосредственно из графика. Для этого строится график, например при п = 2, на котором линии, соответствующие ограничениям, определяют область допустимых решений (рис. 4.24).

Рисунок 4.24.

Методика определений экстремума целевой функции следующая.

Построив многоугольник ограничений и зная, что экстремум находится в одной из вершин многогранника и не нужно исследовать его внутреннюю часть, на некотором расстоянии R от начала координат проводим прямую линию целевой функции. Для этого выбираем произвольно значение F(х), которое подставляем в уравнение целевой функции. Затем определяем точки, в которых целевая функция пересекает оси координат: х₁ (при х₂ = 0) и х₂ (при х₁ = 0). Проведя линию целевой функции, перемещаем ее параллельно самой себе, увеличивая расстояние R от начала координат. При этом растет и значение целевой функции. Далее фиксируется эта прямая в проходимых вершинах многогранника. Последняя вершина (в нашем случае – В) соответствует экстремуму целевой функции, а ее координаты х₁ и х₂ являются оптимальными переменными. Если прямая совпадает с какой-либо стороной многоугольника (например, ВС), то будет континуум решений.

При аналитическом решении основную идею методов составляет направленный перебор некоторых вариантов решения с его последовательным улучшением.

Задачи ЛП удобно решать симплекс-методом (simple – англ. – простой). Это метод последовательного улучшения плана, эффективная процедура проведения вычислений, специальный метод оптимального (направленного) перебора.

Симплексом называется N-мерная замкнутая геометрическая фигура, ребра которой представляют собой прямые линии, пересекающиеся в (N+1) вершине. В двумерном случае это треугольник, в трехмерном – тетраэдр.

Схемы поиска с использованием симплексов основаны на слежении за изменением значений целевой функции в их вершинах. Главным в этих схемах является процесс отражения – нахождение вершины нового симплекса, расположенного симметрично относительно плоскости, проходящей через одну из сторон исходного симплекса. Выбор направления поиска вершины нового симплекса определяется положением той вершины исходного симплекса, в которой целевая функция имеет наихудшее значение (точка А на рис. 4.25).

x₂

В

А

0

Рисунок 4.25.

На рисунке (симплекс-метод в двумерном пространстве) сплошной линией обозначен исходный симплекс, пунктирной – новый симплекс. Новая точка (В) называется «дополнением» наихудшей точки. Если в новой вершине значение целевой функции хуже, чем в наихудшей точке исходного симплекса, то алгоритм предусматривает возврат в исходную точку – вершину прежнего симплекса. Затем осуществляется переход к той вершине прежнего симплекса, в которой целевая функция имеет следующее по величине значение и отыскивается точка, являющаяся ее дополнением. Такой алгоритм обеспечивает систематическое смещение центра симплекса в направлении экстремума целевой функции.

На рис. 4.26 представлено геометрическое изображение симплексного метода [8]. Траектория движения представляет собой ломаную линию, колеблющуюся вокруг линии крутого восхождения. Цифры указывают последовательность расчета новых вершин.

Алгоритм последовательного улучшения плана в общем случае получается сравнительно сложным и громоздким. Поэтому симплекс-метод обычно применяют в тех случаях, когда не известен какой-либо другой метод, позволяющий упростить и ускорить получение решения.