2. Метод деления интервала пополам (половинного разбиения)

Повысить эффективность поиска экстремума можно методом деления интервала пополам. На первом шаге три точки испытаний (N + 1 равных частей) (рис. 4.18). При этом на каждом интервале

М – суженный интервал неопределенности.

После первой серии опытов (первого шага) интервал неопределенности уменьшается вдвое. При этом значение целевой функции в середине нового интервала уже известно. Остается для завершения поиска на очередном этапе определить только два значения целевой функции.

F(x)

М

0 а 1 2 3 b

Рисунок 4.18.

Коэффициент дробления интервала неопределенности при N  3

3. Метод дихотомии

В выше приведенных методах значения целевой функции определяются при постоянном приращении независимой переменной х. Если снять это ограничение, то эффективность поиска можно повысить.

В методе дихотомии (греч. dicha – на две части, + tome – сечение – последовательное деление на две части) интервал неопределенности делится пополам. Определение целевой функции осуществляется при значениях х, отстоящих от половинной точки на , т.е. в паре точек. Величина должна быть небольшой, но в то же время достаточной, чтобы различить, какая из пары точек лучше по значению функции F(x) (рис. 4.19).

Рисунок 4.19.

Из рис. 4.19а видно, что неизвестный оптимум в правой части F(х₂) > F(х₁). Новый интервал неопределенности снова делится пополам и возле его середины проводится опять пара измерений на расстоянии . На рис. 4.19б показаны несколько шагов определения экстремума.

Коэффициент дробления

Достоинство метода: при достижении одинаковых сужений интервала неопределенности метод дихотомии требует определения целевой функции в точках на одну меньше.

4. Метод «золотого сечения»

В предыдущих методах из трех значений целевой функции, найденных в интервале неопределенности, в дальнейшем используется только два, а третье не используется.

В методе «золотого сечения» целевая функция находится в точках интервала неопределенности, расположенных таким образом, чтобы каждое значение целевой функции давало новую полезную информацию. Метод основан на задаче, которая в «Началах» Эвклида известна как задача о «золотом сечении».

Определение целевой функции производится в точке, которая делит интервал неопределенности на две неравные части так, что отношение длины большей части к длине всего отрезка (интервала неопределенности) равно отношению длины меньшего отрезка к длине большего (или все наоборот).

F(x) L

l₁ l₂

0 а b

Рисунок 4.20.

Из рисунка:

Кроме того L = l₁ + l₂.

Из (*) имеем:

Делим на :

Решаем это квадратное уравнение и получаем:

Это соотношение длин двух последовательных интервалов сохраняется постоянным в этом методе.

Если принять l₁ = 0,618, то l₂ = 0,618l₁ = 0,618² = 0,382 = ².

На первом шаге испытания проводятся в двух точках х₁ и х₂ (рис. 4.21а).

М – новый интервал неопределенности.

Расстояние между точками х₁ и х₂ равно:

= 1 – 20,382 = 0,236.

Этот отрезок симметричен относительно центра и составляет от отрезка 0,618

а от отрезка 0,382

Рисунок 4.21.

Интервал неопределенности после второго шага уменьшается в 0,618 раз.

При N > 2 эффективность метода выше, чем у метода дихотомии.

Измерения проводятся на каждом шаге в двух точках, причем одна точка известна из предыдущего шага при поиске оптимума (она повторяется на следующем шаге: рис. 4.21б).

Коэффициент дробления f = 0,618^N–1. Интересная закономерность: наибольшее сокращение последующих интервалов неопределенности достигается при определении целевой функции в точках, равноудаленных от центра.

На рис. 4.21б приведены несколько шагов поиска экстремума методом «золотого сечения».

Для оценки интервала неопределенности на k-й итерации точки х_k и х_k+1 определяются по формулам:

и

где

После N итераций длина интервала неопределенности составляет .