17.5. Цифровые фильтры

Электрические фильтры, как известно, являются важным функциональным звеном радиоэлектронных устройств. От их качественных характеристик в значительной мере зависит качество устройства в целом. Сложность и трудоемкость реализации аналоговых фильтров, сравнительно малая стабильность их параметров привели к поискам возможности реализации фильтров на элементной базе цифровой микросхемотехники.

Цифровой фильтр (ЦФ) представляет собой ЛДЦ, реализованную аппаратными либо программными средствами и предназначенную для выполнения процедуры частотной фильтрации сигнала.

Рассмотрим принцип работы ЦФ. На его вход подается сигнал х (nT) – последовательность числовых значений, следующих с интервалом T. При поступлении каждого очередного числа х (nT) ЦФ производит расчет по соответствующему алгоритму, и на выходе его появляется выходное число y (nT) . В общем случае число y (nT) является функцией ряда предыдущих значений как входных, так и выходных чисел:

y (nT) =f [х (nT),х (nT –T), х (nT –2T),…, y (nT – T),y (nT –2T),…].

На выходе ЦФ вырабатывается последовательность чисел y (nT),следующих с интервалом T. Таким образом, тактовый интервалT является общим для входных и выходных чисел.

Рассмотрим основные структурные схемы линейных ЦФ.

Цифровые фильтры делятся на два больших класса: нерекурсивные и рекурсивные. В нерекурсивных фильтрах отклик зависит только от значений входной последовательности y (nT) = F [х (nT), х (nT – T), х (nT – 2T),…].

В рекурсивных фильтрах отклик зависит как от значений входной последовательности, так и от предшествующих значений выходной последовательности:

y (nT) =f [х (nT),х (nT – T), х (nT –2T),…, y (nT – T),y (nT – 2T),…].

Нерекурсивный цифровой фильтр.На рис. 17.12. изображена структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра, обрабатывающего сигнал в соответствии с алгоритмом

y (nT) =b₀ х (nT) +b₁х (nT–T) + b₂ х (nT–2T) +…+ b_M х (n–MT).

На схеме обозначены: z^-1 – регистры сдвига, осуществляющие сдвиг цифровой последовательности на один такт Т; b_i – умножители числа на b_i ; ∑ – сумматор.

Нерекурсивный фильтр может быть практически осуществлен, если заданная импульсная характеристика содержит сравнительно небольшое число членов, т.е. быстро убывает с ростом n. В противном случае для получения заданной импульсной характеристики потребуется очень много ячеек памяти.

Рекурсивный цифровой фильтр. Рекурсивный ЦФ характеризуется тем, что выходное числоy (nT) зависит от ряда поступивших на вход чисел и от предшествующих выходных чисел:

y(nT) =b₀ х (nT) +b₁х (nT – T) +…+ b_M х (nT – MT) + а₁ y (nT – T) +

+ а₂ y (nT –2T) +…+ а_N y (nT –NT). (17.39)

Запишем алгоритм (17.39) ЦФ N-го порядка в виде разностного уравнения соответствующего порядка:

y(nT) –а₁ y (nT–T) –…– а_N y (nT – NT) =b₀ х (nT) +…+ b_M х (nT – MT), (17.40)

которое эквивалентно линейному дифференциальному уравнению N-го порядка для аналогового фильтра.

Правая часть уравнения (17.40) описывает нерекурсивную, левая – рекурсивную части ЦФ. Коэффициенты а₁ , а₂ ,…, а_N , b₀ , b₁ ,…, b_М определяются значениями элементов схемы фильтра.

Структурная схема рекурсивного фильтра, обрабатывающего сигнал в соответствии с алгоритмом (17.40), показана на рис. 17.13.

Определим системную функцию H(z) цифрового фильтра. Для этого применим к уравнению (17.40)z-преобразование и теорему смещения:

H(z) ==. (17.41)

Выражение для H(z) напоминает своей структурой коэффициент передачи системы с обратной связьюK_β = , поэтому ЦФ, системная функция которых содержит знаменатель вида (17.41), называют рекурсивными, так как рекурсия трактуется как обратная связь.

Выражение (17.41) связывает системную функцию фильтра со значениями его элементов. По известной (заданной) системной функции H(z) может быть определена структура и значения коэффициентов ЦФ.

Основным достоинством рекурсивных фильтров является сокращение числа элементов структурной схемы по сравнению с числом элементов в нерекурсивных фильтрах. Благодаря этому они позволяют реализовывать медленно затухающие импульсные характеристики.

Недостатком рекурсивных фильтров являются бóльшие ошибки округления, нежели чем в нерекурсивных фильтрах.

Рекурсивные фильтры позволяют реализовать любые алгоритмы типа (17.41), т.е. получить весьма разнообразные частотные характеристики при соблюдении следующих условий:

а) система должна быть устойчивой;

б) ошибки округления не должны нарастать в такой степени, чтобы нарушать нормальную работу фильтра.

Канонический рекурсивный цифровой фильтр. Канонический рекурсивный ЦФ является результатом модификации структурной схемы на рис. 17.13, реализующей фильтр с системной функцией вида (17.41).

Запишем выражение (17.41) в виде

==

= , (17.42)

где M(z) = . (17.43)

Алгоритм (17.43) определения M (z) поХ (z) осуществляется рекурсивным фильтромN-го порядка, а алгоритм (17.42) определенияпо найденнымM (z) – нерекурсивным фильтромМ-го порядка. Получаем алгоритм определенияпоследовательным применением алгоритмов (17.43) и (17.42). Структурная схема такого алгоритма изображена на рис. 17.14 и соответствует так называемой прямой или основной схеме цифрового фильтра. Из рис. 17.14 видно, что часть блоков задержки можно объединить.

На рис. 17.15 показана каноническая структурная схема цифрового фильтраN-го порядка, имеющая минимальное число блоков, т.к. регистры сдвигаz^-1 являются общими элементами для обеих частей структуры.