mathanaliz

5.6.3. Вторая производная параметрически заданной функции.

Пусть функция f : A → R задана параметрически

x = ϕ(t),

f :

y = ψ(t), t T.

Пусть функции ϕ : T → A, ψ : T → R дважды

дифференцируемы в каждой точке t T и

t T : ϕ0(t) 6= 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда параметрически заданная функция f : A → R дважды дифференцируема в каждой точке x A и производная параметрически заданной функции

x = ϕ(t),

f :

y = ψ(t), t T,

есть параметрически заданная функция

x = ϕ(t),

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

производная от которой есть снова параметрически заданная функция

x = ϕ(t),

Замечание. Функция f00 : A → R определяется соотношением

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

5.7.Теоремы о среднем.

Знание производной f0 некоторой функции f часто позволяет делать заключение и о поведении самой функции f. Вопросам этого рода

посвящён данный раздел.

Теоремы этого раздела содержат значения производных в некоторой точке, о расположении которой известно только то, что она находится между двумя заданными точками (отсюда название раздела), однако, это не меша-

ет многообразным применениям этих теорем в анализе.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

5.7.1. Теорема Ферма´

Теорема 78. (Ферма)´ Пусть функция

f : A → R принимает наибольшее или наименьшее значение на A во внутренней точ-

ке ξ A. Тогда, если существует f0(ξ), то f0(ξ) = 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть f принимает наибольшее значение на A во внутренней точке ξ A. Тогда Uε(ξ) такая, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

f0(ξ) = 0! .

Доказательство случая когда f принимает наименьшее значение на A во внутренней точке ξ A аналогичное. Рассмотреть самостоятельно.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание 1. Геометрически теорема 78 вполне очевидна, ибо она утверждает, что если во внутренней точке ξ A функция принимает наибольшее или наименьшее значение и в точке (ξ, f(ξ)) graff можно провести касательную к графику функции, то касательная параллельна оси Ox (рис.5.9).

y

Рис. 5.9 Теорема Ферма´

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание 3. Физически теорема 78 означает, что при движении по прямой в момент начала возврата скорость равна нулю.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit