Докажем формулу (5.15) методом математической индукции.
I. При n = 1 формула (5.15) верна.
II. Предположим, что f(n)(x) = ax · (ln a)n . III. Найдём выражение для f(n+1)(x).
|
(n) |
0 II. |
|
f |
|
(x) = |
|
= (ax · (ln a)n)0 |
88 |
= ax · (ln a)(n+1) . |
Итак, формула (5.15) доказана методом математической индукции.
Ответ. (ax)(n) = ax · (ln a)n .
Частный случай: (ex)(n) = ex.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 103. Найти выражение для f f(x) = (x + a)α, α, a R.
Пример 104. Найти выражение для f f(x) = sin ax, a R.
Пример 105. Найти выражение для f f(x) = cos ax, a R.
Пример 106. Найти выражение для f f(x) = ln (1 + x).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Для нахождения n− й производной функции f в некоторых случаях полезно функцию предварительно преобразовать, например, рациональную функцию разложить в сумму простейших дробей (см. пример 107), понизить степень тригонометрической функции с помощью кратных углов (см. пример 108), перейти к комплексным переменным и т.д.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 107. Найти выражение для f(n), если f(x) = x21−1.
Пример 108. Найти выражение для f(n), если f(x) = sin4 x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.6.2. Формула Лейбница.
Пусть функции u, v : A → R имеют производные до порядка n включительно. Тогда для n-й производной от их произведения справедлива следующая формула Лейбница:
X
n C(k)v(k)(x)u(n−k)(x),
k=0 n
n(n − 1) · · · (n − (k − 1)). k!
(5.16)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство методом математической индукции.
При n = 1 формула (5.16) совпадает с правилом дифференцирования произведения (см. теорему 74).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если функции u, v имеют производные до порядка n + 1 включительно, то, в предположе-
нии справедливости формулы (5.16) для порядка n, после дифференцирования её левой и правой частей получаем
|
(n+1) |
|
n |
k |
(n |
k+1) |
|
(k) |
|
|
n |
k |
|
(n |
|
|
k) |
|
(k+1) ( ) |
|
(uv) |
= |
X |
v |
+ |
X |
|
− |
v |
|
|
Cnu |
|
|
− |
|
|
|
Cnu |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1)v(0) + |
|
|
k |
|
|
k |
|
n |
|
k |
|
|
|
k |
) + u(0)v(n+1) |
10.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u( |
X |
Cn |
+ Cn |
−1 u( |
− |
|
+1)v( |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
n+1 |
Cnk+1u(n+1−k)v(k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0
(*) – объединили слагаемые, содержащие одинаковые произведения производных от
функций u и v.
Справедливость формулы Лейбница доказана.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Формула Лейбница очень похожа на формулу бинома Ньютона и на самом деле с нею непосредственно связана. Она часто бывает полезна при выводе общих выражений для n-й производной.
Пример 109. Найти f(n)(0), если
f(x) = x2eax, a R.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. По формуле Лейбница, находим
f(n)(x) =
=x2aneax + Cn12xan−1eax + 2Cn2an−2eax =
=x2aneax + 2nxan−1eax + n(n − 1)an−2eax,
откуда f(n)(0) = n(n − 1)an−2.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 110. Найти f(n)(0), если
f(x) = arctg x.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Производные высших порядков от функции одного переменного.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
