dnf(x) (x), dxn .
Определение 129. Если определена производная f(n−1)(x) порядка n − 1 от функции f, то
производная порядка n от функции f определяется формулой
f(n)(x) = f(n−1) 0 (x).
Для производной порядка n приняты обозначения
f(n)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Дифференциалы высших порядков функции определяются так же индуктивно, как и производные высших порядков.
Определение 130. Дифференциалом второго порядка функции f в некоторой точке x называется дифференциал в этой точке от её (первого) дифференциала и обозначается d2f(x), т.е.
2 опр.
d f(x) = d (df(x)) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 131. Дифференциалом n - го порядка функции f в некоторой точке x называется дифференциал в этой точке от её диф-
ференциала (n−1) - го порядка и обозначается dnf(x), т.е.
d |
n |
опр. |
|
d |
(n |
− |
1) |
f(x) |
|
. |
|
f(x) = d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Производные и дифференциалы порядка два и выше называют высшими производными и
дифференциалами. При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно помнить, что, если x независимая переменная, то
dx есть произвольное и не зависящее от x число, которое при дифференцировании по x над-
лежит рассматривать как постоянный множитель.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Легко показать, что если x независимая переменная, то
n |
(n) |
(x) (dx) |
n îáîç. |
f |
(n) |
(x)dx |
n |
. |
d f(x) = f |
|
= |
|
|
Если же x есть функция независимой переменной t, то дифференциалы высших порядков находят последовательно:
df(x) = f0(x)dx, d2f(x) = f00(x)dx2+f0(x)d2x, . . . .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия
– касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером.
Нажмите на кнопку first derivative (первая производная). На рисунке появится график первой производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс.
Нажмите на кнопку second derivative (вторая производная). На рисунке появится график второй производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс.
Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.6.1. Общие формулы для производных любого порядка.
Для того, чтобы вычислить n-ю производ-
ную от какой-либо функции, вообще говоря, нужно предварительно вычислить производ-
ные всех предшествующих порядков. Однако иногда удаётся установить такое общее выражение для n-ой производной, которое зависит непосредственно от n и не содержит более обозначений предшествующих производных. При выводе таких общих формул обычно поступают следующим образом:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1.Вычисляют последовательно производные, пытаясь при этом подметить закономерность в записях производных;
2.Найденная общая формула доказывается методом математической индукции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 102. Найти выражение для f(n), если f(x) = ax.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. f0(x) 88= ax · ln a, f00(x) 88= ax · (ln a)2 , f000(x) 88= ax · (ln a)3 .
Вычисляем последовательно производные до тех пор пока не заметим закономерности их написания:
f(n)(x) = ax · (ln a)n . |
(5.15) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
