2). Вычисляем
x(π) = −3, y(π) = 0, x0t(π) = 0, yt0(π) = −4.
Записываем каноническое уравнение касательной к кривой в точке M2(−3, 0):
0 |
|
|
4 |
|
− |
x + 3 |
= |
y − 0 |
или x = |
3, |
|
|
|
− |
|
|
|
т.е. кривая в точке M2 имеет вертикальную касательную (см. рис. 5.8). Записываем уравнение нормали к кривой в точке M2(−3, 0):
x + 3 = y − 0 или y = 0. −4 0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.4.6. Касательная к пространственной кривой.
Пусть функции ϕ : T → A, ϕ−1 : A → T взаимно обратны и непрерывны на множествах T и A, соответственно, и функции ψ : T →
B, ψ−1 : B → T взаимно обратны и непрерывны на множествах T и B, соответственно.
Пусть, далее, функции χ : T → C, χ−1 : C → T взаимно обратны и непрерывны на множествах T и C, соответственно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда образ L := Ã(T ) множества T при отображении
t →Ã (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) R3
является пространственной кривой L. Фиксируем произвольное t0 T и по-
следовательность |
(tn, n N), сходящую- |
ся к t0. Тогда |
последовательность точек |
Mn (ϕ(tn), ψ(tn), χ(tn)) L сходится к точке
M0 (ϕ(t0), ψ(t0), χ(t0)) L.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Канонические уравнения секущей M0Mn, как уравнения пространственной прямой, проходящей через две точки, имеют следующий вид:
x − ϕ(t0) |
= |
y − ψ(t0) |
= |
z − χ(t0) |
. |
ϕ(tn) − ϕ(t0) |
|
ψ(tn) − ψ(t0) |
|
χ(tn) − χ(t0) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Геометрический смысл этих уравнений не изменится, если мы все знаменатели разделим на tn − t0:
x − ϕ(t0) |
= |
y − ψ(t0) |
= |
z − χ(t0) |
. |
ϕ(tn)−ϕ(t0) |
|
ψ(tn)−ψ(t0) |
|
χ(tn)−χ(t0) |
tn−t0 |
|
tn−t0 |
|
tn−t0 |
Если эти уравнения в пределе, при n → ∞,
сохраняют определённый смысл, то этим будет установлено существование предельного
положения секущих, т.е. касательной.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Предположим что, функции ϕ, ψ и χ дифференцируемы в точке t0 T и хотя бы одна из производных ϕ0, ψ0, χ0 не равна нулю в точке t0. Тогда в пределе мы получаем
x − ϕ(t0) |
= |
y − ψ(t0) |
= |
z − χ(t0) |
ϕ0(t0) |
|
ψ0(t0) |
|
χ0(t0) |
и эти уравнения, действительно, выражают прямую, так как не все знаменатели равны нулю.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, канонические уравнения касательной к пространственной кривой имеют вид
x − ϕ(t0) |
= y − ψ(t0) |
= z − χ(t0). |
ϕ0(t0) |
ψ0(t0) |
χ0(t0) |
Вектор p~ = ϕ0(t0), ψ0(t0), χ0(t0)! является направляющим вектором касательной к пространственной кривой и называется касательным вектором пространственной кривой в точке M0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.5. Таблица производных фундаментальных функций.
|
|
|
Ограничения на область |
|
|
|
|
|
|
f(x) |
f0(x) |
изменения аргумента |
|
|
|
|
x R |
|
|
C (const) |
0 |
x > 0 при α R |
|
|
xα |
αxα−1 |
|
|
|
|
x R при α N |
|
|
ax |
ax ln a |
x R(a > 0, a 6= 1) |
|
|
ex |
ex |
x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничения на область |
f(x) |
|
f0(x) |
изменения аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x R |
loga x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x (0, +∞), (a > 0, a 6= 1) |
|
|
|
x ln a |
ln x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x (0, +∞) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
cos x |
|
cos x |
− sin x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6= 2 + πk, k Z |
cos2 x |
ctg x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
x 6= πk, k Z |
sin2 x |
arcsin x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|x| < 1 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
arccos x |
− |
√ |
1 |
|
|
|
|x| < 1 |
1 x2 |
|
arctg x |
1 |
− |
|
|
|
|
1+x2 |
|
|
|
arcctg x |
− |
1 |
|
|
1+x2 |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
