mathanaliz

Итак, параметрически заданная функция

f : A → R дифференцируема в каждой точке x A и производная параметрически заданной функции

x = ϕ(t),

f :

y = ψ(t), t T,

есть параметрически заданная функция

x = ϕ(t),

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. Параметрически заданная функция f0 : A → R определяется соотношением

x A : x f0 ψt0 ϕ−1(x)!.

→ ϕ0t ϕ−1(x)!

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

5.4.5.1. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Пусть функции

ϕ : T → A, ϕ−1 : A → T

взаимно обратны и непрерывны на множествах T и A, соответственно.

Пусть, далее, функции

ψ : T → B, ψ−1 : B → T

взаимно обратны и непрерывны на множествах T и B, соответственно.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда образ L := Ã(T ) множества T при отображении

t →Ã (ϕ(t), ψ(t)) R2

является плоской кривой L и графиком параметрически заданной функции

x = ϕ(t),

f :

y = ψ(t), t T.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем произвольное t0 T .

Точка M0 (ϕ(t0), ψ(t0)) принадлежит графику функции f. Если функции ϕ и ψ дифферен-

цируемы в точке t0 T и ϕ0(t0) 6= 0, то в точке M0 graff можно провести касательную,

уравнение которой задаётся формулой (5.6), т.е. (см. раздел 5.4.5)

− ψ0(t0) −

y ψ(t0) = ϕ0(t0)(x ϕ(t0)).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Переписывая последнюю формулу в виде

получим каноническое уравнение касательной

к плоской кривой. В последней форме записи уравнение годится и для случая, когда

ϕ0(t0) = 0, но ψ0(t0) 6= 0.

Вектор p~ = ϕ0(t0), ψ0(t0)! является направляю-

щим вектором касательной к плоской кривой и называется касательным вектором плос-

кой кривой в точке M0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из уравнения (5.7) получаем уравнение

(см. раздел 5.4.5).

Вектор ~n = ψ0(t0), −ϕ0(t0)! , ортогональный

касательному вектору p~ = ϕ0(t0), ψ0(t0)! , является направляющим вектором нормали к плоской кривой и называется нормальным вектором плоской кривой в точке M0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 101. Напишите уравнения касательных и нормалей к кривой

x= 2 cos t − cos 2t, y = 2 sin t − sin 2t

вточках:

1)t = π2 ; 2) t = π.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Находим производные

x0t(t) = −2 sin t + 2 sin 2t, yt0(t) = 2 cos t − 2 cos 2t.

1). Вычисляем

x(π2 ) = 1, y(π2 ) = 2, x0t(π2 ) = −2, yt0(π2 ) = 2.

Записываем каноническое уравнение касательной к кривой в точке M1(1, 2):

y = −x + 3.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Записываем уравнение нормали к кривой в точке M1(1, 2):

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit