Определение 128. Производная от логарифма модуля дифференцируемой функции называется логарифмической производной.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Метод логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции f, а затем производную самой функции по формуле:
f0(x) = (ln |f(x)|)0 · f(x).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 96. Найти производную от показательно-степенной функции
f : A → R, x A : f(x) := [u(x)]v(x) ,
где u, v – дифференцируемые функции на A и
x A : u(x) > 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Воспользуемся методом логарифмического дифференцирования:
f0(x) = [u(x)] |
v(x) |
ln [u(x)] |
v(x) 0 |
= |
|
|
|
10.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [u(x)]v(x) (v(x) · ln u(x))0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
ln u(x) + v(x) |
|
u0(x) |
|
= [u(x)]v(x) v0(x) |
· |
· |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.4.4. Дифференцирование обратной функций.
Теорема 77. Пусть функции f : A → B, f−1 : B → A взаимно обратны и непрерывны
в предельных точках x0 A и f(x0) = y0 B, соответственно. Если функция f диффе-
ренцируема в точке x0 и f0(x0) 6= 0, то функция f−1 также дифференцируема в точке
y |
0, причём |
f |
−1 0 |
(y |
) = f |
0(x |
)!−1 . |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Так как функции
f : A → B и f−1 : B → A
взаимно обратны, то величины
f(x) − f(x0), f−1(y) − f−1(y0)
при y = f(x) не обращаются в нуль, если
x 6= x0.
Из непрерывности f в x0 и f−1 в y0 = f(x0) следует, что
lim f(x) = f(x0) = y0
x→x0
и y = f(x) 6= y0, если x 6= x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Далее находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f−1(y) |
− |
f−1(y0) 27 |
|
x |
− |
x0 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
= |
y→y0 |
y |
− y0 |
|
|
|
x→x0 f(x) − f(x0) |
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f(x) f(x0) = f |
(x |
). |
|
|
|
= x |
→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
x−x0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, показано, что в предельной точке y0 функция f−1 : B → A имеет производную, а значит дифференцируема в этой точке, и
f− |
|
(y0) = f |
0(x0)!− . |
|
1 0 |
|
1 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Если бы нам заранее было известно, что функция f−1 дифференцируема в точке y0, то из тождества
f−1 ◦ f (x) ≡ x
по теореме 76 о дифференцировании композиции функций мы сразу же нашли бы, что
f−1 0 (y0) · f0(x0) = 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 97. Показать, что
x (−1, 1) : (arcsin x)0 = |
√ |
1 |
|
. |
1 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.
Фиксируем произвольное x (−1, 1). Обозначим через y := arcsin x −π2 , π2 ! . Тогда
(arcsin x)x0 |
77 1 |
1 |
10.25 |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
(sin y)0y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
+√ |
|
. |
|
+s |
|
|
|
1 − sin2 y |
|
|
|
|
|
1 − x2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
