Пример 95 Найти производную функции f(x) = sin3 2x.
Решение. Функция f является композицией нескольких функций. Представим её в виде: f(x) = sin 2x 3
Шаг 1. Выделим самую внешнюю функцию и представим её аргумент цветным прямоугольником.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 95 Найти производную функции f(x) = sin3 2x.
Решение. Функция f является композицией нескольких функций. Представим её в виде: f(x) = sin 2x 3
Тогда
Шаг 2.По правилу вычисления производной от степенной функции (см. пример 87) и правилу вычисления производной от композиции (см. теорему 76) получаем:
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 95 Найти производную функции f(x) = sin3 2x.
Решение. Функция f является композицией нескольких функций. Представим её в виде: f(x) = sin 2x 3
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x) = |
|
3 0 |
= 3 |
|
|
2 |
|
|
!0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
· |
|
|
· |
|
x |
|
|
|
|
|
Шаг 3. Восстановим аргумент степенной функции.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 95 Найти производную функции f(x) = sin3 2x.
Решение. Функция f является композицией нескольких функций. Представим её в виде: f(x) = sin 2x 3
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
2 |
|
|
!0 |
f |
(x) = |
sin 2x |
= 3 |
|
sin 2x |
|
sin 2x |
0 |
|
|
|
x |
|
· |
|
|
· |
|
x |
|
|
|
|
|
|
Шаг 4. Аргумент функции sin заменим цветным прямоугольником.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 95 Найти производную функции f(x) = sin3 2x.
Решение. Функция f является композицией нескольких функций. Представим её в виде: f(x) = sin 2x 3
Тогда
|
|
sin3 2x!0 |
|
|
sin2 2x |
|
|
|
|
!0 |
f |
(x) = |
= 3 |
|
|
sin |
|
|
0 |
|
x |
|
· |
|
· |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. По правилу вычисления производной от функции sin
(см. пример 91) и правилу вычисления производной от композиции (см. теорему 76) получаем:
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 95 Найти производную функции f(x) = sin3 2x.
Решение. Функция f является композицией нескольких функций. Представим её в виде: f(x) = sin 2x 3
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 2x!0 |
|
|
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
)0 |
f |
(x) = |
= 3 |
|
2x |
|
cos |
|
|
|
( |
|
0 |
|
x |
|
· |
|
|
· |
|
|
|
· |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 6. Восстановим аргумент функции sin . Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 95 Найти производную функции f(x) = sin3 2x.
Решение. Функция f является композицией нескольких функций. Представим её в виде: f(x) = sin 2x 3
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x) = sin3 2x!0 = 3 |
|
sin2 |
2x |
|
cos 2x |
|
( |
|
)0 |
|
|
|
2x |
0 |
|
x |
· |
|
|
|
· |
|
· |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
· |
|
x |
87 |
|
|
|
|
Шаг 7. Так как |
= 2 |
|
= 2, то оконча- |
(2x)0 |
|
(x)0 |
тельно имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 95 Найти производную функции f(x) = sin3 2x.
Решение. Функция f является композицией нескольких функций. Представим её в виде: f(x) = sin 2x 3
Тогда
f0(x) = sin3 2x!0x = 3 · sin2 2x · cos 2x · 2
Ответ: sin3 2x!0 = 3 · sin2 2x · cos 2x · 2
x
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
f(x)
5.4.3. Логарифмическая производная.
Пусть задана функция f : A → R дифференцируемая на A и x A : f(x) 6= 0. Покажем, что
x A : (ln |f(x)|)0x = fx0 (x).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Обозначим ϕ(x) := x. Тогда
ln |f(x)| = (ln ◦| | ◦ f ◦ ϕ) (x) = (ln |f| ◦ ϕ) (x)
и x A : |
|
|
|
ϕ)0 (x) = |
|
|
|
|
|
|
(ln f(x) )0 |
|
= (ln f |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| x |
|
| | ◦ |
|
|
x |
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕx0 |
90 |
= (ln |
f )0 |
|
|
· |
(f(ϕ))0 |
|
|
|
|
· |
(x) = |
|
| |
| |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f=f(ϕ(x)) |
|
|
|
|
|
ϕ=ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
f0(x) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
· |
f |
(x) |
· |
1 = |
. |
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
f(x) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
