Решение.
Фиксируем произвольную точку x dom tg . Тогда
(tg x)0 |
|
sin x 0 |
75 cos2 x + sin2 x |
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
cos |
x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 94. Показать, что
x dom ctg : (ctg x)0 = − sin12 x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.
Фиксируем произвольную точку x dom ctg . Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ctg x) |
|
cos x 0 75 |
− |
sin2 x |
− |
cos2 x |
1 |
|
= |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
. |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
− sin x |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.4.2. Дифференцирование композиции функций.
Пусть A, B R.
Теорема 76. Если функции f : A → B дифференцируема в предельной точке x A, а функция g : B → R дифференцируема в предельной точке y = f(x) B, то композиция g ◦ f : A → R этих функций дифференцируема в точке x A, причём
(g ◦ f)0(x) = g0 (f(x)) · f0(x).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем |
произвольную |
предельную точку x0 A и |
придадим ей |
приращение x так чтобы x0 + x A. Тогда, в силу дифференцируемости, а, следовательно и непрерывности, функции f в точке x0 имеем f(x0 + x) = f(x0) + f(x0, x) и
lim f(x0, x) = 0.
x→0
Из дифференцируемости функции g в предельной точке y0 = f(x0) B следует, что
g(y0, y) = g0(y0)Δy + α(Δy)Δy, (5.13)
где lim α(Δy) = 0.
y→0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определим функцию |
|
1 |
|
α(Δy), |
если y = 0, |
|
|
6 |
|
|
|
|
α (Δy) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если |
|
|
|
y = 0. |
|
|
|
|
Тогда (5.13) можно переписать в виде
g(y0, y) = g0(y0)Δy + α1(Δy)Δy, (5.14)
где lim α1(Δy) = 0.
y→0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Вычислим
g ◦ f(x0, x) := g (f(x0 + x)) − g (f(x0)) =
(5.14)
= g (f(x0) + f(x0, x)) − g (f(x0)) = = g0 (f(x0)) f(x0, x) +
112
+ α1(Δf(x0, x))Δf(x0, x) =
=g0 (f(x0)) f0(x0)Δx + β(Δx)Δx! +
+α1(Δf(x0, x))Δf(x0, x),
где β(Δx) → 0, α1(Δf(x0, x)) → 0 при x → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Отсюда следует, что |
|
|
(g |
◦ |
f) |
(x |
) = |
lim |
0 |
|
g ◦ f(x0, x) |
= |
|
0 |
0 |
|
x |
→ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= g0 (f(x0)) · f0(x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Бесконечно малая α из (5.13) не определена в нуле. Но f(x0, x) может быть равно нулю при x 6= 0. Поэтому мы определяем функцию α1, переписываем (5.13) в форме (5.14) и потом в (5.14) заменяем y на
f(x0, x).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 95. Найти проиводную функции f(x) = sin3 2x.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
