Доказательство. Обозначим f = u + v и фиксируем произвольную точку x0 A.
|
|
|
|
|
f(x0, x) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
(u(x0 + x) + v(x0 + x)) − (u(x0) + v(x0)) |
= |
|
|
x |
|
|
|
|
|
= |
u(x0 + x) − u(x0) |
+ |
v(x0 + x) − v(x0) |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
(5.10) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так |
как lim |
u(x0+Δx)−u(x0) |
= |
u |
(x |
) и |
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
v(x0+Δx)−v(x0) = v |
(x |
), то, |
в |
силу |
|
тео- |
x→0 |
|
x |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
ремы 30, из (5.10) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
f(x0, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
= u0(x0) + v0(x0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
т.е.(u + v)0(x0) = u0(x0) + v0(x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 74. Если функции u : A → R, v : A → R дифференцируемы в точке x A ∩ A0, то их произведение дифференцируемо в точке x, причём
(u(x) · v(x))0 = u0(x) · v(x) + u(x) · v0(x),
символическая запись
(u · v)0 = u0 · v + u · v0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Обозначим f = u · v и фиксируем произвольную точку x0 A.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x0, x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
u(x0 + x) · v(x0 + x) − u(x0) · v(x0) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= |
(u(x0 + x) − u(x0)) v(x0 + x) + u(x0) (v(x0 + x) − v(x0)) |
|
= |
|
|
u(x0 + x) − u(x0) |
|
|
|
|
x |
|
|
v(x0 + x) − v(x0) |
|
= |
|
· |
v(x |
|
+ x) + u(x |
) |
· |
|
|
|
x |
|
0 |
0 |
|
|
x |
|
|
(5.11)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Функция v дифференцируема в точке x0, а значит и непрерывна в этой точке [см. тео-
рему 72], т.е. |
lim |
v(x0 + |
|
x) = v(x0). |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
lim |
u(x0+Δx)−u(x0) |
= |
u |
(x |
) и |
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
v(x0+Δx)−v(x0) |
= v |
(x |
), то, |
в |
силу |
|
тео- |
x→0 |
|
|
x |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
рем 30 и 31, из (5.11) следует, что |
|
|
|
|
|
|
f(x0, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= u0(x0)v(x0) + u(x0)v0(x0), |
|
|
x |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е.(u · v)0 (x0) = u0(x0)v(x0) + u(x0)v0(x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 75. Если функции u : A → R, v : A → R дифференцируемы в точке x A ∩ A0 и v(x) 6= 0, то их частное дифференцируемо в точке x, причём
|
u(x) 0 |
|
|
u0(x)v(x) |
− |
u(x)v0(x) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
(x) |
|
|
v(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
символическая запись |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 0 |
= u0v − uv0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Обозначим f = u |
и фикси- |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
руем произвольную точку x0 A. |
|
|
|
|
|
|
f(x0, x) |
1 |
u(x0 + x) |
u(x0) |
= |
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
v(x |
0 |
+ x) |
v(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
u(x0 + x)v(x0) − u(x0)v(x0 + x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
x · v(x0) · v(x0 + x) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
u(x0 + x) |
− |
u(x0) |
|
v(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x |
) |
· |
v(x |
0 |
+ x) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
v(x0 |
+ x) |
− |
v(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
· |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.12) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Функция v дифференцируема в точке x0, а значит и непрерывна в этой точке [см.
теорему |
72], |
т.е. |
lim |
v(x0 + |
x) |
= |
v(x0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
lim u(x0+Δx)−u(x0) |
= |
|
u |
(x |
) и |
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
v(x0+Δx)−v(x0) |
= v |
(x |
), то, в силу тео- |
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
рем 30 - 32, из (5.12) следует, что |
|
|
|
|
|
lim |
|
f(x0, |
x) |
= |
u0(x0) · v(x0) − u(x0) · v0(x0) |
, |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
v2(x0) |
|
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 0 |
|
u0(x0) |
|
v(x0) |
|
u(x0) |
|
v0(x0) |
|
|
|
|
(x0) = |
|
|
|
· |
|
v |
2− |
|
|
· |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
(x0) |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 75.1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е., если C − const, то
(C v)0 = C |
|
v0; |
C 0 |
= C (v− |
1 |
)0; |
|
u |
0 |
= |
1 |
|
u0. |
· |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
C |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 93. Показать, что
x |
|
dom tg : (tg x)0 |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
cos2 x |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
