Определение 124. Пусть f : A → B, A, B R
непрерывна на A и x0 - внутренняя точка
множества A. Если существуют f−0 (x0), f+0 (x0) и f−0 (x0) 6= f+0 (x0), то точка M0 (x0, f(x0)) graff называется угловой точкой графика
функции f (см. рис. 5.6).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
y |
|
T |
|
T |
|
Nn |
Mn |
N3 |
M |
M3 |
N2 |
|
M2 |
N1 |
|
M1 |
graff |
|
|
|
0 |
x |
Рис. 5.6 Точка M – угловая точка graff |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.2.5. Механический смысл производной и дифференциала.
Пусть некоторая материальная точка движется прямолинейно и задан закон её движения s = s(t), т.е. известно расстояние s точки от некоторого начала отсчёта в каждый момент времени t.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, в момент времени t0 пройденное рас-
|
|
|
|
|
стояние равно s(t0), а в момент t0 + t |
рас- |
стояние равно s(t0 + |
t). Тогда за промежу- |
ток времени [t0, t0 + |
t] точка прошла путь |
s(t0, |
|
t) := s(t0 + |
t) − s(t0). Отношение |
s(t0, |
t) |
называют средней скоростью движе- |
t |
|
ния точки за промежуток времени [t0, t0 + |
t]. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Средняя скорость движения на различных промежутках различна. Чем меньше промежуток времени t, тем точнее средняя скорость движения “характеризует” это движение в момент времени t0. Как определить мгновенную
скорость v(t0) точки в момент времени t0? Из первого закона Ньютона следует, что ре-
альная механическая система за малый промежуток времени мало меняет свои параметры.
В частности, скорость v(t) точки во все моменты времени t, близкие к моменту t0, долж-
на быть близка к значению v(t0). Но в таком случае само движение на промежутке време-
ни [t0, t0 + t] должно мало отличаться от равномерного движения со скоростью v(t0), причём тем меньше отличаться, чем меньше t.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Значит
s(t0 + t) − s(t0) = v(t0) · t + o(Δt). (5.8)
Из соотношения (5.8) величина v(t0) находится однозначно:
v(t0) = lim |
s(t0 + |
t) − s(t0) |
, |
(5.9) |
|
t→0 |
t |
|
|
поэтому как соотношение (5.8), так и равносильное ему соотношение (5.9) можно принять за определения величины v(t0) - мгновенной скорости точки в момент времени
t0. Тогда, из определения производной следует, что v(t0) = s0(t0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, производная функции характеризует скорость изменения функции в рассматриваемой точке, а дифференциал функции доставляет наилучшую линейную аппроксимацию приращения функции в окрестности рассматриваемой точки. Более того, функции, описы-
вающие движение реальной механической системы, предполагаются допускающими такую
линейную аппроксимацию.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.2.6. Бесконечная производная функции.
Пусть задана функция f : A → R, A R и x0 предельная точка множества A.
Напомним, что производная функции f, а также односторонние производные функции f, в точке x0 есть число и дифференцируемость функции в точке эквивалентна наличию производной в этой точке.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В случае, если |
|
|
|
|
lim |
f(x) − f(x0) |
= + |
∞ |
, |
x→x0 |
x − x0 |
|
то, по определению 115, в точке x0 производной нет, но в точке (x0, f(x0)) graff можно провести касательную к графику функции f, которая параллельна оси Oy.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Иногда бывает удобно рассматривать так называемые “бесконечные производные”, но их использование как правило заранее оговаривается.
Определение 125. Если
lim |
f(x) − f(x0) |
= + |
( ), |
x→x0 |
x − x0 |
∞ −∞ |
то говорят, что в точке x0 существует бесконечная производная, которая обозначается также f0(x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
