5.2.3. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
Пусть задана функция f : A → R, A R непрерывная на A. Графиком функции f является плоская кривая. Фиксируем точку M0 (x0, f(x0)) на кривой. Пусть кривая в точке M0 имеет не вертикальную касательную.
Напишем уравнение этой касательной. Фиксируем произвольную последовательность
(Δxn) , |
xn |
R \ {0} сходящуюся к |
ну- |
лю и такую, |
что |
точки M0 (x0, f(x0)) |
и |
Mn (x0 + |
xn, f(x0 + |
xn)) принадлежат гра- |
фику функции f. |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Обозначим через ϕn угол наклона секущей M0Mn к оси Ox (см. рис. 5.5). Тогда
tg ϕn = f(x0 + xn) − f(x0). xn
Так как кривая в точке M0 имеет не вертикальную касательную, то существует lim ϕn = ϕ, 0 ≤ ϕ < π, ϕ 6= π2 , и ϕ - угол наклона касательной к оси Ox.
Значит существует конечный предел
lim f(x0 + xn) − f(x0) = lim tg ϕn = tg ϕ xn
и, следовательно, по определению Гейне, f0(x0) = tg ϕ.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, если в точке M0 graff имеется не
вертикальная касательная, то функция f имеет в точке x0 производную и уравнение
касательной имеет вид
y − f(x0) = f0(x0)(x − x0) |
(5.6) |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 121. Нормалью к плоской кривой L в точке M0 L называется прямая, проходящая через точку M0 L перпендикулярно касательной к кривой L в этой точке.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Уравнение нормали к |
graff в точке |
M0 (x0, f(x0)) graff имеет вид |
1 |
(x − x0) , |
y − f(x0) = − |
|
f0(x0) |
если f0(x0) = 0. Последнее уравнение можно |
6 |
|
|
|
|
|
переписать в канонической форме |
|
|
x − x0 |
= |
y − f(x0) |
. |
(5.7) |
|
f0(x0) |
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.2.4. Односторонние производные функции.
Пусть f : A → B, A, B R.
Определение 122. Пусть x0 - предельная точка множества A−(x0). Если существует конечный предел слева
lim |
f(x) − f(x0) |
, |
x→x0−0 |
x − x0 |
то он называется левой производной функции f в точке x0 и
обозначается f−0 (x0), т.е.
f0 (x0) := |
|
lim |
|
f(x) − f(x0) |
. |
− |
x |
→ |
x0 |
− |
0 |
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 123. Пусть x0 - предельная точка множества A+(x0). Если существует конечный предел справа
lim |
f(x) − f(x0) |
, |
x→x0+0 |
x − x0 |
то он называется правой производной функции f в точке x0 и обозначается f+0 (x0), т.е.
f |
0 |
(x0) := lim |
f(x) − f(x0) |
. |
|
+ |
x→x0+0 |
x − x0 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Легко показать, что левая (правая) производная функции f существует в точке x0 тогда и только тогда, когда в точке M0 (x0, f(x0)) graff можно провести левую (правую) касательную и левая (правая) производная функции f в точке x0 совпадает с угловым коэффициентом левой (правой) касательной к графику функции f в точке M0 (x0, f(x0)).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В силу теоремы 52 об односторонних пределах имеет место следующая
Теорема 71. Пусть f : A → B, A, B R и x0
- внутренняя точка множества A.
Тогда для того, чтобы существовала f0(x0), необходимо и достаточно выполнение трех условий:
1.Существует f−0 (x0);
2.Существует f+0 (x0);
3.f−0 (x0) = f+0 (x0) = f0(x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
