Определение 119. Если существует прямая MT , являющаяся предельным положением секущих MMn для каждой последовательности точек (Mn) , Mn L, Mn < M, сходящейся к точке M L, то прямая MT называется левосторонней касательной к кривой L в точке
M L.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 120. Если существует прямая MT , являющаяся предельным положением секущих MMn для каждой последовательности точек (Mn) , Mn L, M < Mn, сходящейся к точке M L, то прямая MT называется правосторонней касательной к кривой L в точке M L.
ПРАВОСТОРОННЯЯ КАСАТЕЛЬНАЯ
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.2.2.Геометрический смысл производной
идифференциала.
Пусть функция f : A → R, A R непрерывная на A и имеет производную в точке x0 A. Построим график функции f. Фиксируем произвольную последовательность (Δxn) , xn R \ {0} сходящуюся к нулю и такую, что точ-
ки M0 (x0, f(x0)) и Mn (x0 + xn, f(x0 + xn))
принадлежат графику функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Обозначим через ϕn угол наклона секущей M0Mn к оси Ox. Тогда
tg ϕn = f(x0 + xn) − f(x0). xn
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как функция f имеет производную в точке x0, то, по определению Гейне, существует
lim tg ϕn = lim f(x0 + xn) − f(x0) = f0(x0). xn
Обозначим через ϕ, 0 ≤ ϕ < π, угол, тангенс которого равен f0(x0). Следовательно, прямая проходящая через точку M0 с углом наклона ϕ к оси Ox, является предельным положением секущих M0Mn, т.е. касательной к графику функции f в точке M0 (x0, f(x0)).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 
Серая прямая, проходящая через фиксированную красную и подвижную чёрную точки на графике функции, это секущая графика функции.
Протащите мышкой, с нажатой левой кнопкой, чёрную точку вдоль кривой. Обратите внимание: когда чёрная точка близка к красной, то тангенс угла наклона секущей близок к значению производной f0(1).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, если функция f имеет производную в точке x0, то существует касательная к графи-
ку функции f в точке M0 (x0, f(x0)) и f0(x0) равно тангенсу угла наклона касательной к
оси Ox (см. рис. 5.4).
ГРАФИК ПРОИЗВОДНОЙ
Иллюстрация показывает связь между функцией и её производной на двух отдельных графиках. Зелёный вертикальный отрезок изображает значение тангенса наклона касательной в красной точке на графике функции.
Перемещая движок "x0" Вы рисуете график производной функции (справа), график которой изображён слева.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Вычисляя NK как катет прямоугольного треугольника NKM0, найдём
NK = NM0 · tg ϕ = f0(x0) · x = df(x0).
Итак, дифференциал df(x0) есть приращение ординаты касательной к графику функции f в точке (x0, f(x0)) соответствующее приращению аргумента x (см. рис. 5.4) и дифференциал df(x0) отличается от приращения
f(x0, x) на величину бесконечно малую более высокого порядка чем x при x → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия – касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером.
Нажмите на кнопку first derivative (первая производная). На рисунке появится график первой производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс.
Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
